九年级第一学期期中模拟卷- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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九年级第一学期期中模拟卷考试范围：相似三角形与锐角三角比；考试时间：100分钟；满分：150分一、单选题(共24分)1．(本题4分)如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα＝＝．故选：B．2．(本题4分)在中，点、分别在边、的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：当时，DE∥BC，A选项正确；当时，DE∥BC，B、C选项错误；当时，DE∥BC，D选项错误；故选：A．3．(本题4分)下列关于向量的说法中，不正确的个数是（    ）①；②若，则；③若、是实数，则；④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；⑥如果与分别是与的单位向量，则A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】①，该选项正确；②若，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；③若、是实数，则，该选项正确；④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，该选项正确；⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行，该选项正确；⑥如果与不平行，则与也不平行，该选项错误．综上，①③④⑤正确，共个．故选：C．4．(本题4分)下列四个命题中，假命题是（    ）A．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；B．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．【答案】A【解析】解：A．当这个锐角是一个三角形的底角而是另一个三角形的顶角时，这两个等腰三角形不相似，故该选项错误，是假命题；B．有一个锐角相等的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；故选：A．5．(本题4分)如果是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵C为线段AB=1的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，∴BC=AB=．故选：D．6．(本题4分)如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（   ）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH//BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴解得：x=，则EH=3x=．故答案为B．二、填空题(共48分)7．(本题4分)已知，那么_________．【答案】【解析】解：由3x=4y，两边同时除以3y，得，故答案为：．8．(本题4分)计算：________．【答案】0【解析】解：===0故答案为：0．9．(本题4分)已知线段，，，其中为，的比例中项，，，则______．【答案】6【解析】∵是、的比例中项，∴，解得：或(线段为正数，舍去)故答案为：．10．(本题4分)如图，在中，点在边上，， ，，设， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．【答案】【解析】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴，∴，∴∴AB＝3，∴BD＝1，∴ ，∴，∵， ∴．故答案为：．11．(本题4分)如图，在中，平分交边于点，，，，那么的长是______．【答案】【解析】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，∴∠ABC=∠CAD，又∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∵BD=AD，AB=3，AC=2，解得故答案为：12．(本题4分)两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．【答案】【解析】解：∵两个三角形的周长比是2：3，∴两个三角形的面积比等于4：9，设较小的三角形的面积为4S，则较大的三角形面积为9S，∴9S-4S=3，解得S=∴较小三角形的面积为4S=．故答案为：13．(本题4分)计算：__________．【答案】【解析】解：==故答案为：．14．(本题4分)如图，G为的重心，交于N，的长为2，那么_________．【答案】12【解析】解：∵G为△ABC的重心，∴AM是△ABC的中线，MG：GA=1：2，∴BM=MC，MG：MA=1：3，∵GN∥AC，∴MN：MC=MG：MA=1：3，∴MN：BC=1：6，∵MN=2，∴BC=12，故答案为：12．15．(本题4分)一个钢球沿着坡比为的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距离地面的高度是______米．【答案】【解析】如图，在Rt中，设，则根据勾股定理得：解得：（负值舍去）．故答案为：．16．(本题4分)在中，，则_________【答案】【解析】如图，在直角△ABC中，，设BC长度为x，则AB长度为3x，根据勾股定理可得：    ，解得：，则.故答案为：.17．(本题4分)如图，已知在梯形中，，，矩形的顶点，，分别在边，，上，如果，，那么的长为________．【答案】2【解析】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵，，∴四边形是等腰梯形，∴，∴，∴，∴，即，在中，= ，∴，∴，故答案为：2．18．(本题4分)已知矩形纸片的边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为________．【答案】【解析】解：作出折叠后的图形，作，垂足为点M，连接PD．∵矩形纸片，将它折叠后，点落在边的中点处，与点P重合∴,∵四边形是矩形，∴∴∴∵∴∴ ∵四边形是矩形，，，点落在边的中点P处，∴，，，在中，，∴则．故答案：．三、解答题(共78分)19．(本题10分)已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.【答案】（1）1；（2）【解析】∵∴设a=2k，b=3k，c=5k，（1）；（2）∵∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.20．(本题10分)如图，在梯形中，，已知．（1）试用向量、、表示下列向量：_______，________；（2）求作：、．（不要求写作法，要写明结论）【答案】（1），；（2）见解析【解析】解：（1），，故答案为：，．（2）如图，，在上取一点，使得，连接，则，故，即为所求．21．(本题10分)如图，在中，，．（1）求边的长度；（2）求的值．【答案】（1）12；（2）【解析】（1）作，垂足为点E．∵，AB=10，∴，∴=6，∴；（2）作，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cosC=，∴，∴，∴，∴．．22．(本题10分)如图，已知中，，，，．（1）求线段的长；（2）设，．①请直接写出向量关于、的分解式，________；②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）【答案】（1）；（2）①；②作图见解析．【解析】解：（1）∵，∴，∴．（2）①如下图∵DE∥BC∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∴又，∴∵四边形ADEF是平行四边形∴∴，②如下图，和是分别在、方向上的分向量．23．(本题12分)如图，梯形中，，对角线、相交于点，如果，的面积为4，那么求：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）∵，，∴，∵∴（2） ∵ ∴∴ 的面积为4， ∴与是等底同高的两个三角形，∴∴．24．(本题12分)如图，中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）证明：∵，，∴△∽△， ∴，∴．（2）证明：∵，， ∴∽， ∴， ∴，∵， ∴，∴， ∵， ∴，∴．25．(本题14分)如图，已知AMBN，∠A＝∠B＝90°，AB＝4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE＝x，BC＝y．（1）当AD＝1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF＝2.5，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE＝AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）AE＝2；（3）△BCE的周长不变，值为8．【解析】解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，∴，∵AE＝x，BC＝y，AB＝4，AD＝1∴BE＝4﹣x，∴，∴y＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（2）∵DE⊥EC，∴∠DEC＝90°，又∵DF＝FC，∴DC＝2EF＝2×2.5＝5，过D点作DH⊥BN于H，则DH＝AB＝4，∴Rt△DHC中，HC＝＝＝3，∴BC＝BH+HC＝1+3＝4，即y＝4，∴﹣x2+4x＝4解得：x1＝x2＝2，∴AE＝2；（3）△BCE的周长不变．理由如下：C△AED＝AE+DE+AD＝4+x，BE＝4﹣x，设AD＝m，则DE＝4﹣m，∵∠A＝90°，∴DE2＝AE2+AD2即，（4﹣m）2＝x2+m2∴，由（1）知：△AED∽△BCE，∴∴∴△BCE的周长不变．