【奥数】四年级下册数学奥数课件-第19讲《容斥原理》 全国通用

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知识精讲这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳；如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关，但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠；比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次(如图所示)，计算人数的时候要把这一部分减去才行；比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7+10-3=14人.
喝茶的 喝咖啡的
知识精讲这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题，研究这种问题通常需要画出示意图(如喝茶与喝咖啡的图)，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B就会算多了，而多算的正好是部分③，只要把多算的减掉就可以了，上述分析总结成公式就是:A、B总数=A+B-A、B重叠这个公式就是两个对象的容斥原理.
A B
① ③ ②
例题1：(1)一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人,喜欢吃芥末的有20人，那么两种都喜欢吃的有多少人?(2)暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景，他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的，如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景?(3)在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过，已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部动画片中的一部? 分析：试着画文氏图分析一下吧！注意图中每一部分所代表的含义！答案：（1）6人；（2）11人；（3）17人
练习1：四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学?答案：83名
例题2：渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加，有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人? 分析：题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的，作图时可以画两个圆，分别表示“游泳”和“长跑”，但条件中还有男生、女生，那男生、女生该怎么表示呢？答案：55人
练习2：某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人? 答案：70人
例题3：三位基金经理投资若干支股票，张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支；张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支；请问：这三位经理一共买过多少支股票？分析：我们还是画出文氏图来分析，题中的已知条件分别对应图中的哪个部分？怎样来求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置.答案：96支
知识精讲例题3实际上就是三个对象的包含与排除问题，三个对象的容斥原理如下：A、B、C总数=A+B+C-A、B重叠-B、C重叠-C、A重叠+A、B、C重叠怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明.如图，我们在计算A+B+C时，有一些部分被重复计算了：④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次；因此我们需要把重复计算的去掉，需要注意的是，去掉A、B重叠，B、C重叠和A、C重叠的部分后，④、⑤、⑥重复计算的一次去掉了，但⑦被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式，即把所有圆圈相加，减去两个圆圈重叠部分，再加上三个圆圈重叠的部分得到的就是总数.在使用这个公式时，请同学们一定要清楚公式中每一部分的含义，不能有丝毫的偏差，只有所有条件都和公式完全吻合时我们才能使用这个公式.
B C
④ ⑥
② ⑤ ③
练习3：卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖；已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块重叠了4平方分米，如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少?答案：89平方厘米
文氏图是体现条件的最基本最直观的方法，我们要灵活应用，不能随便套用公式，我们要先理解图中各部分的含义，再来看相加时每个部分“包含”了几次，然后把算重的部分减去
例题4：课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人，至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对，请问：(1)王老师的班上有多少名学生?(2)若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第 3道题的同学有多少人?分析：画出三个对象文氏图，仔细找找题中所描述的条件分别对应图中的哪些部分.答案：（1）33人；（2）9人
练习4：高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报?答案：150人
这里需要指出的是，我们要留意题中的一些说法，比如“至少答对一道题”对应的是图中的什么区域？“至少答对两道题”对应的是图中的什么区域？“只答对一道题”呢?
例题5：四年级一班有46名学生参加3项课外活动，其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人；请问参加文艺小组的人数是多少?分析：图中每一部分分别代表什么呢？题目给了几个倍数关系，我们不妨设份数计算一下.答案：24人
例题6：某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球；那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？分析：题目要我们求至少有多少人三项都会，那么也就是要只会两项的尽量多，此时文氏图很难进行分析，不妨画一下线段图试试吧！答案：4人
作业1：一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，请问：语文、数学两种课外书都借的有多少人？答案：21人
作业2：六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，请问两样都不会的有多少人?答案：19人
作业3：许、王、原三位老师走进一家蛋糕店，发现这里的每一种糕点至少被她们中的一个人吃过；她们分别数了一下，许老师吃过其中的15种，王老师吃过其中的10种，原老师吃过其中的6种，有8种糕点许、王两老师都吃过，有5种糕点许、原两老师都吃过，有3种糕点王、原两老师都吃过，有2种糕点这三位老师都吃过；那么这个面包店有多少种糕点? 答案：17种
作业4：五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人，那么五年级有多少人没有参加小组?答案：9人
作业5：五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人，那么五年级有多少人没有参加小组?答案：12人