第3节 力的合成与分解-2023年高考物理一轮复习对点讲解与练习（通用版）

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第二章 相互作用
第3节　 力的合成与分解
【知识梳理】
一、　力的合成
1．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。
2．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
(2)相互关系：等效替代关系。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则：
平行四边形定则
三角形定则
求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力

4.合力的大小范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小；当两个力反向时，合力最小；当两个力同向时，合力最大；合力可以大于分力、等于分力，也可以小于分力；合力一定时，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力同向时合力最大，为F1＋F2＋F3。
②最小值：如果|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，则合力的最小值为零，否则等于最大的一个力减去另外两个较小的力。
【诊断小练】
(1)合力一定大于其中任何一个分力．(　　)
(2)分力是弹力，则合力不是弹力．(　　)
(3)合力的方向一定与其中某一个分力方向相同．(　　)
(4)当三个力共线同向时，三个力的合力最大．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【命题突破】
1．一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
【解析】　两个2 N力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
【答案】　ABC
2. 如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　　)
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
【解析】　分解千斤顶受到的压力，由几何知识可得此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力将减小，C错误，D正确。
【答案】　D
【归纳总结】
利用矢量三角形求共点力的合力的技巧

运用平行四边形定则进行力的合成，求解问题时，一般把两个分力、一个合力放在平行四边形的一半中(如图所示)，再利用三角形知识分析求解．几种特殊情况：
F＝
F＝2F1cos
F＝F1＝F2
3.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图象(0≤θ≤2π)，下列说法中正确的是(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
【解析】　由题图可知：当两力夹角为180°时，两力的合力为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10 N．则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误．当两个力方向相同时，合力等于两个力之和14 N；当两个力方向相反时，合力等于两个力之差2 N，由此可见：合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误．
【答案】　C
4.如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动．在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则(　　)
A．FT1＝FT2＝FT3，FN1＞FN2＞FN3
B．FT1＞FT2＞FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1＜FT2＜FT3，FN1＜FN2＜FN3
【解析】　物体静止时绳的张力等于物体重力的大小，所以FT1＝FT2＝FT3＝mg.
解法一：用图解法确定FN1、FN2、FN3的大小关系．与物体连接的这一端，绳对定滑轮的作用力FT的大小也为mg，作出三种情况下的受力图如图所示，可知FN1＞FN2＞FN3，故选项A正确．
解法二：用计算法确定FN1、FN2、FN3的大小关系．已知两个分力的大小，其合力与两分力的夹角为θ，满足关系式：F＝，θ越小，F越大，所以FN1＞FN2＞FN3，故选项A正确．
【答案】　A



5．(多选)5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好构成一个正方形，F5是其对角线。下列说法正确的是(　　)
A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反
B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力
C．除F5以外的4个力的合力的大小为F
D．这5个共点力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同
【解析】选AD　力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反；又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为2F，C错误；这5个共点力的合力大小等于F，方向与F5相反，D正确，B错误。
【答案】　AD
【归纳总结】
解答共点力的合成问题时的三点注意
(1)合成力时，要正确理解合力与分力的大小关系：合力与分力的大小关系要视情况而定，不能形成合力总大于分力的思维定势．
(2)三个共点力合成时，其合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大的力之差．
(3)合力与它的分力是等效替代关系，在进行有关力的计算时，如果已计入了合力，就不能再计入分力．如果已计入了分力，就不能再计入合力.
【知识梳理】
二、　力的分解
1．力的分解
(1)概念：求一个力的分力的过程。
(2)分解法则：①平行四边形定则；②三角形定则。
2．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的物理量，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。
(2)标量：只有大小没有方向的物理量，求和时遵从算术法则。
3．力的分解的两种方法
(1)按照力的作用效果分解



(2)正交分解
①建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝(如图所示)
合力方向：若F与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
【诊断小练】
(1)电流有大小，也有方向，所以是矢量．(　　)
(2)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则．(　　)
(3)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形．(　　)
(4)既有大小又有方向的物理量一定是矢量．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
【命题突破】
1．如图所示，用轻绳AO和OB将重力G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ.则AO绳的拉力FA、OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为(　　)
A．FA＝Gtan θ
B．FA＝
C．FB＝
D．FB＝Gcos θ
【解析】　解法一：力的作用效果分解法
绳子OC的拉力FC等于重物重力G.将FC沿AO和BO方向分解，两个分力分别为FA、FB，如图甲所示．可得：
＝tan θ，＝cos θ
FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正确．
解法二：力的合成法
结点O受到三个力作用FA、FB、FC，如图乙所示，其中FA、FB的合力与FC等大反向，即F合＝FC＝G，则：
＝tan θ，＝cos θ
解得：FA＝Gtan θ，FB＝，故A、C正确．
【答案】　AC
2.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑(如图甲)，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑(如图乙)，则两次的推力之比为(　　)

A．cos θ＋μsin θ　　　　　 　B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
【解析】　物体在力F1作用下和力F2作用下匀速运动时的受力如图1、2所示。

将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcos θ，Ff1＝μFN1，F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcos θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，F2＝，故＝cos θ－μsin θ，B正确。
【答案】　B
【归纳总结】
力的合成方法和力的分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定.
3.如图所示，一物体置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为(　　)

A.－1　 B．2－　
C.－　 D．1－
【解析】　当用F1拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图所示，将F1正交分解，则
水平方向有F1cos 60°＝Ff1
竖直方向有F1sin 60°＋FN1＝mg
其中Ff1＝μFN1
联立上式可得F1＝
同理，当用F2推物块做匀速直线运动时
水平方向有F2cos 30°＝Ff2
竖直方向有F2sin 30°＋mg＝FN2
其中Ff2＝μFN2
联立上式可得F2＝
根据题意知F1＝F2，解得μ＝2－，B正确．
【答案】　B
【归纳总结】
正交分解法建立坐标轴的原则
(1)一般情况下，应使尽可能多的力“落”在坐标轴上或关于坐标轴对称．若物体具有加速度，一般沿加速度方向设置一个坐标轴．
(2)若物体所受各力已分布于两个互相垂直的方向上，而加速度却不在这两个方向上时，以这两个方向为坐标轴，分解加速度而不分解力．
4．一同学用如图所示方式体验力的作用效果。水平放置的一根铅笔，O端用轻绳拉住，轻绳的另一端套在食指上的B点。铅笔的O端用另一根轻绳吊一重物，铅笔的笔尖在手掌上的A点，手掌和手指在同一个竖直平面内，铅笔始终水平。若将轻绳在食指上的端点稍稍下移，下列说法正确的是(　　)
A．B点感受到的拉力变小
B．A点感受到的压力不变
C．B点感受到的拉力不变
D．A点感受到的压力变大
【解析】选D　重物对点O的拉力产生两个效果，即沿着OA方向的压力和沿着BO方向的拉力，如图所示，根据平行四边形定则，有FOBcos α＝mg，FOBsin α＝FOA。若将轻绳在食指上的端点稍稍下移，则角度α变大，cos α变小，sin α变大，故FOB、FOA变大，选项D正确。


5.在水平桌面上有一个质量为M且倾角为α的斜面体．一个质量为m的物块，在平行于斜面的拉力F作用下，沿斜面向下做匀速运动．斜面体始终处于静止状态．已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.下列结论正确的是(　　)
A．斜面对物块的摩擦力大小是F
B．斜面对物块的摩擦力大小是μmgcos α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是Fcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
【解析】　对物块受力分析，如图甲所示，由共点力的平衡条件得，F＋mgsin α＝f1，mgcos α＝FN1，f1＝μFN1，解得斜面对物块的摩擦力大小f1＝F＋mgsin α或f1＝μmgcos α，故A错误，B正确；对物块和斜面整体受力分析，如图乙所示，由共点力的平衡条件得，f2＝Fcos α，FN2＝Fsin α＋(m＋M)g，故桌面对斜面体的摩擦力大小为Fcos α，桌面对斜面体的支持力大小为Fsin α＋(m＋M)g，故C正确，D错误．
【答案】　BC


6.如图所示的四脚支架经常使用在架设高压线路、通信的基站塔台等领域．现有一质量为m的四脚支架置于水平地面上，其四根铁质支架等长，与竖直方向均成θ角，重力加速度为g，则每根支架对地面的作用大小为(　　)

A. B．
C.mgtanθ D．mg
【解析】　由结构的对称性可知，四根支架的作用力大小相同，与竖直方向的夹角均为θ，根据牛顿第三定律及力的合成与分解知识可得：4Fcos θ＝mg，解得：F＝，B正确．
【答案】　B
7. (多选)如图所示，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是(　　)
A．下面每个球对地面的压力均为mg
B．下面的球不受地面的摩擦力
C．下面每个球受地面的摩擦力均为mg
D．上面球对下面每个球的压力均为mg
【解析】　以四个球整体为研究对象，受力分析可得，3FN＝4mg，可知下面每个球对地面的压力均为FN＝mg，A项正确；单独分析上面球，设上面球对下面球的压力大小均为F，由对称性和几何关系可知，F与竖直方向的夹角α均满足cos α＝，由平衡条件可得3Fcos α＝mg，F＝mg，D项正确；单独分析下面一个球，由水平方向合力为零可知，Ff＝Fsin α＝mg，即下面每个球受地面的摩擦力均为mg，B、C项错误。
【答案】　AD
8．(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。下列说法正确的有(　　)
A．三条绳子中的张力都相等
B．杆对地面的压力大于杆所受重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆所受重力是一对平衡力
【解析】选BC　杆静止在水平地面上，则杆受到重力、三条绳子的拉力和地面对它的支持力，根据平衡条件，三条绳子的拉力的合力竖直向下，故绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零，杆对地面的压力大小等于杆所受重力与三条绳子的拉力的合力之和，选项B、C正确；由于三条绳长度不同，即三条绳与竖直方向的夹角不同，所以三条绳上的张力不相等，选项A错误；绳子拉力的合力与杆所受重力方向相同，因此两者不是一对平衡力，选项D错误。
【答案】　BC




【考能提升·对点演练】
1．现有三个共点力F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
【解析】选C　合力不一定大于分力，B错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，C对；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，D错。
【答案】　C
2．如图，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是(　　)

【解析】　根据矢量合成的平行四边形定则可知，C选项的合力为零，即合力最小，C正确．
【答案】　C
3.如图所示，牛通过绳索拉着犁正在犁田。若犁重为G，牛拉犁匀速前进时，犁受到的阻力为f，绳索与水平面的夹角为θ，则在牛匀速前进时，绳索对犁的拉力大小为(不计人对犁的作用)(　　)
A.　　　　　　 　B.
C. D.
【解析】选D　由于地面对犁有支持力，A、B错误；将绳索对犁的拉力分解，可知其水平向前的分力大小等于犁受到的阻力，即Fcos θ＝f，解得F＝，C错误，D正确。
【答案】　D
4．如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零，F1沿－y方向，大小已知．F2与＋x方向夹角为θ(θ