高中数学7.2 三角函数概念第1课时学案

这是一份高中数学7.2 三角函数概念第1课时学案，共13页。学案主要包含了给角求值，利用公式进行化简等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．
导语
在初中我们学习了一些锐角的三角函数值，现在我们把角扩展到了任意角，我们是否可以把任意角的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值？对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要解决的内容．
一、诱导公式一～四
问题1 终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示 由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cs(α＋2kπ)＝cs α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
问题2 观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？
提示 三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z.
问题3 知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？
提示 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cs α，eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y＝－sin α，cs(π＋α)＝－x＝－cs α，tan(π＋α)＝eq \f(y,x)＝tan α.
知识梳理
公式一～四
注意点：
(1)函数名称不变；
(2)运用公式时把α“看成”锐角；
(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
二、给角(值)求值
角度1 给角求值
例1 求下列三角函数值：
(1)cs(－480°)＋sin 210°；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8π,3)))·cs eq \f(23π,6)·tan eq \f(37π,6).
解 (1)原式＝cs 480°＋sin(180°＋30°)
＝cs(360°＋120°)－sin 30°＝cs 120°－eq \f(1,2)
＝cs(180°－60°)－eq \f(1,2)
＝－cs 60°－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝－1.
(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(4π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,6)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(4π,3)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))·tan eq \f(π,6)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))·cs eq \f(π,6)·tan eq \f(π,6)
＝－sin eq \f(π,3)·cs eq \f(π,6)·tan eq \f(π,6)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),4).
反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或二来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
角度2 给值求值
例2 (1)(多选)已知cs(π－α)＝－eq \f(3,5)，则sin(－2π－α)的值是( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(3,5)
答案 AB
解析 因为cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(3,5)，
所以cs α＝eq \f(3,5)，
所以α为第一或第四象限角，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(4,5)，
所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝±eq \f(4,5).
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝ .
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
延伸探究
1．若本例(2)中的条件不变，如何求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))？
解 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)－α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3).
2．若本例(2)条件不变，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
解 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).
反思感悟 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练1 (1)sin eq \f(5π,6)＋tan eq \f(7π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝ .
答案 0
解析 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,4)))－cs eq \f(2π,3)
＝sin eq \f(π,6)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))
＝sin eq \f(π,6)－tan eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,3)
＝eq \f(1,2)－1＋eq \f(1,2)＝0.
(2)已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，且α是第四象限角，则cs(α－2π)的值是( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C．±eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 由sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，得sin α＝－eq \f(4,5)，
而cs(α－2π)＝cs α，且α是第四象限角，
所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5).
三、利用公式进行化简
例3 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)；
(2)eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°).
解 (1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)
＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·csα－3×360°,cs180°＋α·[－sin180°＋α])
＝eq \f(sin α·cs α,－cs α·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.
反思感悟 三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).
跟踪训练2 tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为( )
A.eq \f(m＋1,m－1) B.eq \f(m－1,m＋1) C．－1 D．1
答案 A
解析 因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝eq \f(sinπ＋α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1).
1．知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性．
(2)诱导公式一～四及其应用．
2．方法归纳：函数名不变，符号看象限．
3．常见误区：诱导公式中函数前面符号的确定．
1．sin 780°＋tan 240°的值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2)＋eq \r(3) D．－eq \f(1,2)＋eq \r(3)
答案 A
解析 sin 780°＋tan 240°
＝sin 60°＋tan(180°＋60°)
＝eq \f(\r(3),2)＋tan 60°＝eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),2).
2．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α－π)的值是( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(3,5)，
所以sin α＝－eq \f(3,5).
又α是第四象限角，
所以cs α＝eq \f(4,5)，
所以cs(α－π)＝cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(4,5).
3．化简：eq \f(cs3π－α,sin－π＋α)·tan(2π－α)＝ .
答案 －1
解析 原式＝eq \f(csπ－α,sinπ＋α)·tan(－α)
＝eq \f(－cs α,－sin α)·(－tan α)
＝－eq \f(cs α,sin α)·tan α
＝－1.
4.eq \f(cs－585°,sin 495°＋sin－570°)的值等于 ．
答案 eq \r(2)－2
解析 原式＝eq \f(cs360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)
＝eq \f(cs180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)
＝eq \f(－cs 45°,sin 45°－－sin 30°)＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq \r(2)－2.
1．sin 240°＋cs(－150°)的值为( )
A．－eq \r(3) B．－1 C．1 D.eq \r(3)
答案 A
解析 原式＝sin(180°＋60°)＋cs 150°
＝－sin 60°＋cs(180°－30°)
＝－sin 60°－cs 30°
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＝－eq \r(3).
2．(多选)已知sin(π－α)＝eq \f(1,3)，则cs(α－2 022π)的值为( )
A.eq \f(2,3)eq \r(2) B．－eq \f(2,3)eq \r(2)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 AB
解析 sin(π－α)＝eq \f(1,3)，∴sin α＝eq \f(1,3)，
cs(α－2 022π)＝cs α＝±eq \r(1－sin2α)
＝±eq \f(2,3)eq \r(2).
3．在△ABC中，cs(A＋B)的值等于( )
A．cs C B．－cs C
C．sin C D．－sin C
答案 B
解析 由于A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C.
所以cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C.
4．(多选)已知tan θ＝3sin(θ－π)，则cs θ可等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．1
答案 ABD
解析 ∵tan θ＝3sin(θ－π)，
∴eq \f(sin θ,cs θ)＝－3sin θ，
若sin θ＝0，则cs θ＝1或－1，
若sin θ≠0，则cs θ＝－eq \f(1,3).
5．已知cs(508°－α)＝eq \f(12,13)，则cs(212°＋α)等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(5,13) D.eq \f(5,13)
答案 B
解析 方法一 因为cs(508°－α)
＝cs(360°＋148°－α)
＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13)，
所以cs(212°＋α)＝cs(360°＋α－148°)
＝cs(α－148°)＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13).
方法二 cs(212°＋α)＝cs[720°－(508°－α)]
＝cs(508°－α)＝eq \f(12,13).
6．已知sin(－π－α)＝eq \f(3,5)，且α为第二象限角，则eq \f(sinπ－α,tanα－2π)等于( )
A．－eq \f(4,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 A
解析 ∵sin(－π－α)＝eq \f(3,5)，
∴－sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，
∴sin α＝eq \f(3,5)，
∵α为第二象限角，∴cs α＝－eq \f(4,5)，
eq \f(sinπ－α,tanα－2π)＝eq \f(sin α,tan α)＝cs α＝－eq \f(4,5).
7．计算：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))cs eq \f(7π,6)＝ .
答案 eq \f(3,4)
解析 原式＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))
＝－sin eq \f(π,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6)))
＝sin eq \f(π,3)·cs eq \f(π,6)＝eq \f(3,4).
8．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝ ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(9π,4)))＝ .
答案 －eq \f(1,3) eq \f(8,9)
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋π))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(9π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))·cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))－2π))
＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
＝1－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(8,9).
9．化简：(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)；
(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α).
解 (1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)
＝eq \f(sin180°＋α·cs α,tan α)
＝eq \f(－sin α·cs α,tan α)＝－cs2α.
(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α)
＝eq \f(sin α－cs α,cs αtan α)＝－cs α.
10．已知f(α)＝eq \f(sinπ＋αcs2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝－eq \f(sin αcs α－tan α,－tan αsin α)＝－cs α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5).
又α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \f(2\r(6),5)，
∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(3)∵－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))
＝－cs eq \f(5π,3)＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
11．若a＝2 0220.22，b＝sin eq \f(2 022,5)π，c＝lg2 0220.22，则( )
A．cC．b答案 D
解析 由题意得c＝lg2 0220.22a＝2 0220.22>2 0220＝1，
b＝sin eq \f(2 022,5)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(404π＋\f(2π,5)))＝sin eq \f(2π,5)∈(0,1)，
所以c12．(多选)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值是( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
答案 BD
解析 当k＝2n，n∈Z时，
A＝eq \f(sin2nπ＋α,sin α)＋eq \f(cs2nπ＋α,cs α)
＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2，
当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝eq \f(sin[2n＋1π＋α],sin α)＋eq \f(cs[2n＋1π＋α],cs α)
＝eq \f(sinπ＋α,sin α)＋eq \f(csπ＋α,cs α)＝－2.
13．已知函数f(x)＝eq \f(sin x,x＋1x－a)为奇函数，则a等于( )
A．－1 B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．1
答案 D
解析 函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}．
因为f(x)＝eq \f(sin x,x＋1x－a)为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，
所以f(x)＝eq \f(sin x,x＋1x－1)＝eq \f(sin x,x2－1)，
因为f(－x)＝eq \f(sin－x,－x2－1)＝eq \f(－sin x,x2－1)＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，所以a＝1.
14．已知a＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))，b＝cs eq \f(23π,4)，c＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是 ．(用“>”表示)
答案 b>a>c
解析 因为a＝－tan eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，
b＝cs eq \f(23π,4)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
c＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，
所以b>a>c.
15．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为 ．
答案 1
解析 ∵f(2 021)＝
asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)＝－1，
∴f(2 022)＝
asin(2 022π＋α)＋bcs(2 022π＋β)
＝asin[π＋(2 021π＋α)]＋bcs[π＋(2 021π＋β)]
＝－[asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)]＝1.
16．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)，eq \r(3)cs A＝－eq \r(2)cs(π－B)，求△ABC的三个内角．
解 由题意得sin A＝eq \r(2)sin B，
eq \r(3)cs A＝eq \r(2)cs B，
平方相加得2cs2A＝1，cs A＝±eq \f(\r(2),2)，
又因为A∈(0，π)，
所以A＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).
当A＝eq \f(3π,4)时，cs B＝－eq \f(\r(3),2)<0，
所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去．
所以A＝eq \f(π,4)，cs B＝eq \f(\r(3),2)，
所以B＝eq \f(π,6)，所以C＝eq \f(7π,12).
综上所述，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7π,12).终边关系
图示
公式
公式一
角2kπ＋α与角α的终边相同
sin(α＋2kπ)＝sin α，
cs(α＋2kπ)＝cs α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中，k∈Z
公式二
角－α与角α的终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α
公式三
角π－α与角α的终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α
公式四
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α