高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用图片ppt课件

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1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
在正四面体ABCD中， 的夹角等于A.30° B.60° C.150° D.120°
1.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ .(2)运算律
|a||b|·cs〈a，b〉
2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉 ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立.
(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于
(2)若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则A.m∥nB.m⊥nC.m不平行于n，m也不垂直于nD.以上三种情况都有可能
m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
(1)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为A.30° B.45°C.60° D.以上都不对
设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，
空间向量数量积在几何中的应用
问题　类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质.
提示　(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立).
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
用数量积求两点间距离的步骤(1)将两点确定的线段用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.
已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为
则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影. (2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
3.若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝___.
|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.
方法一　连接A1D(图略)，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二　根据向量的线性运算可得
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于A.12 B.8＋C.4 D.13
4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于
7.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝___.
由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ |b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以〈a，b〉＝60°.
9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝___.
∵OA，OB，OC两两垂直，
A.8 B.4 C.2 D.1
∵AB⊥平面BP2P8P6，
16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离.
在平行四边形ABCD中，∵∠ACD＝90°，
在空间四边形ABCD中，∵AB与CD成60°角，