高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质示范课ppt课件

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第1课时　奇偶性的概念
第三章　3.2.2　奇偶性
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.
3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
导语
古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
内容索引
函数奇偶性的概念

一
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
知识梳理
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.(2)先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数.(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.
注意点：
(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.(5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数.
注意点：
函数奇偶性的判断

二
　　判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝－|x|；
函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，
∴f(x)是奇函数.
判断函数奇偶性的方法(1)定义法：
反思感悟
(2)图象法：
反思感悟
　　　 判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)＝x2(x2＋2).
f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.
奇、偶函数的图象及应用

三
　　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
由题意作出函数图象如图.
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
(1)由题意作出函数图象如图所示.(2)由图可知，单调递增区间为(－1,1).(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}.
巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
反思感悟
　　　 定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
观察图象，知f(3)利用函数的奇偶性求值

四
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝____，b＝____.
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(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
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利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
反思感悟
(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　D.1
√
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
－1
课堂小结
1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征.2.方法归纳：特值法、数形结合法.3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
随堂演练

1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于A.－1 B.0C.1 D.无法确定
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∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
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2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是
选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
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3.(多选)下列函数是奇函数的是A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2C.y＝ D.y＝x|x|
√
利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
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4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是_____.
由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
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课时对点练

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1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
√
∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数.
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2.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为A.0 　　　 B.－1　　　 C.1 　　　 D.2
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∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.
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3.若函数f(x)满足 ＝1，则f(x)的图象的对称轴是A.x轴 B.y轴C.直线y＝x D.不能确定
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∴其图象的对称轴为y轴.
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4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为A.－2 B.2C.1 D.0
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f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
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5.已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－ ，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于A.－4 　　 B.－3 　　 C.－2　　 D.1
√
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
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6.(多选)下列函数中为奇函数的是A.f(x)＝x3 　B.f(x)＝x5
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选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
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7.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_________________________.
因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集.因为当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2{x|－5≤x<－2或21
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8.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是___________________.
因为当0[－3，－1)∪(1,3]
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9.判断下列函数的奇偶性.
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f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称.
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f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
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10.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
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(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
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11.已知f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，那么a＋b等于
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∵f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，
再由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，
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12.函数f(x)＝ 是A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
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若x是有理数，则－x也是有理数，∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数.
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13.(多选)对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是A.若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数B.若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数C.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)是R上的单调增函数D.若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数
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A选项，若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)＞f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故C错误；D选项，因为2＞1，f(2)＞f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确.
14.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为______.
因为奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
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故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]
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16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；
由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.
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(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).
由(1)知f(x)为奇函数.所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.