2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题（解析版）

这是一份2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.
【详解】集合,
故，
故选：D
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何表示即得.
【详解】∵复数z对应的点的坐标是，
∴.
故选：D.
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】.
故选：B
4．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.
【详解】由题意，，即函数为偶函数.
故选：B.
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式即得.
【详解】由二倍角公式可得，.
故选：A.
6．函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图象确定正确选项.
【详解】由图象可知，当时，.
故选：C
7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（ ）
A．0.24B．0.14C．0.06D．0.01
【答案】C
【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.
【详解】依题意，两地都降雨的概率为.
故选：C
8．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.
【详解】在上单调递增，故A不符题意；
在上单调递减，故B符合题意；
在上单调递增，故C不符题意；
在上不单调，故D不符题意.
故选：B.
9．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】D
【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.
【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，
，则 为直角，
故可得： ,
故选：D
10．已知向量，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.
【详解】.
故选：B.
11．“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】若四边形是矩形，则它是平行四边形，
反之,若四边形为平行四边形，四边形不一定是矩形，
所以“四边形为矩形”是“四边形为平行四边形”的充分不必要条件.
故选：A.
12．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由真数大于0可得.
【详解】由，得.
故选：A
13．如图，已知四边形为矩形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知.
故选：C
14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．
从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ）
A．0.25B．0.3C．0.5D．0.75
【答案】C
【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】根据图象可知，两个小组高于分的同学各有人，
所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.
故选：C
15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.
【详解】在正方体中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除C；记底面ABCD为，EF为m，平面ABFE为，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.
故选：B
16．在中，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据由余弦定理，可得，代入数据即得.
【详解】由余弦定理，得，
.
故选：D.
17．已知a，b是实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质确定正确答案.
【详解】由于，所以，A选项正确.
，BD选项错误.
，C选项错误.
故选：A
18．已知，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.
故选：B.
19．已知函数，，则（ ）
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
【答案】C
【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】在上是增函数，
所以最小值为，没有最大值.
故选：C
20．对于正整数n，记不超过n的正奇数的个数为，如，则（ ）
A．2022B．2020C．1011D．1010
【答案】C
【分析】根据题意求出正奇数的个数即可.
【详解】由题意，不超过2022的正奇数有个.
故选：C.
二、填空题
21．计算：=___________．
【答案】1
【详解】.
故答案为1
22．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：
甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1
乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5
记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】
【分析】计算出，由此确定正确答案.
【详解】甲的得分平均值为，
.
乙的得分平均值为，
，
所以.
故答案为：
23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（），少数国家使用华氏温标（），两种温标间有如下对应关系：
根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：
①对应；
②对应；
③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．
其中所有正确推断的序号是_____________．
【答案】①②③
【分析】根据条件可得，然后逐项分析即得.
【详解】设摄氏温标为x ，对应的华氏温标为y ,
根据表格数据可知
∴，即，
∴时，，时，，故①②正确；
由，可得，即摄氏温标对应的华氏温标为，故③正确.
故答案为：①②③.
三、双空题
24．已知函数则________；方程的解为________．
【答案】 －2 1
【分析】根据分段函数的性质求解即可.
【详解】2×(－1)＝－2；
x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则，解得x＝1.
故答案为：－2；1.
四、解答题
25．已知函数（m是常数）的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把点代入解析式可得，即得；
（2）利用一元二次不等式的解法即得.
(1)
由题意，，
所以．
所以的解析式为．
(2)
不等式等价于．
解得．
所以不等式的解集为．
26．已知函数．
(1)写出的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；
（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值.
(1)
的最小正周期为：.
(2)
因为，所以．
当，即时，取得最大值．
27．阅读下面题目及其解答过程．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B；（Ⅱ）④A ⑤A
【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案.
【详解】要证明，可通过证明平面来证得，
要证明平面，可通过证明来证得，
所以①填A，②填B，③填B.
平面与平面的交线为，所以④填A，
由于平面，因为平面，且平面平面，
根据线面平行的性质定理可知，，所以⑤填A.
28．给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
解答下列问题：
（1）写出和的值；
（2）写出在上的单调区间；
（3）设，写出的零点个数．
【答案】答案详见解析
【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意的定义域为，
当时，.
对于条件③，对任意，都有，
以替换，则，这与矛盾，所以条件③不合题意.
若选条件①，当时，，.
（1）.
（2）对于函数，
任取，
，
其中，当时，，，
所以在上递减.
当时，，，
所以在上递增.
所以在区间，.
同理可证得：在上递增，在上递减，.
当时，，
由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.
（3），
由（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，
所以，当或或时，的零点个数是0；
当或时，的零点个数是1；
当或时，的零点个数是2．
若选条件②，当时，，
由得，
（1）.
（2）对于函数，
根据上述分析可知：在上递减，在上递增，
且在区间，.
对于，任取，
.
其中.当时，，
递增；当时，，递减.
所以的增区间为，减区间为.且.
（3），
结合上述分析画出的大致图象如下图所示，
所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2．
【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.
摄氏温标（）
…
0
10
20
30
40
50
…
华氏温标（）
…
32
50
68
86
104
122
…
如图，已知正方体．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：直线与平面不平行．
解：（Ⅰ）如图，连接．
因为为正方体，
所以平面．
所以①___________．
因为四边形为正方形，
所以②__________．
因为，
所以③____________．
所以．
（Ⅱ）如图，设，连接．
假设平面．
因为平面，且平面平面④____________，
所以⑤__________．
又，
这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．
所以直线与平面不平行．
空格序号
选项
①
A． B．
②
A． B．
③
A．平面 B．平面
④
A． B．
⑤
A． B．与为相交直线