新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第三章 §2 第2课时　空间向量的数量积

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第2课时　空间向量的数量积
第三章　 §2　空间向量与向量运算
学习目标
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解投影向量以及投影数量的概念.
4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
内容索引
空间向量的夹角及数量积

一
1.两个向量的夹角
知识梳理
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
⊥
2.两个向量的数量积(1)空间向量的数量积已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ .
|a||b|cos〈a，b〉
0
(2)运算律
b·a
a·b＋a·c
λ(a·b)
　　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
反思感悟
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
　　　(1)(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有A.a2＝|a|2
C.(a·b)2＝a2·b2D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
√
√
由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2·cos 2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确.
(2)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为_______.
－13
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
投影向量与投影数量

二
知识梳理
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作　　　　　　　，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于 ，当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图(1))；当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉