初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用同步测试题

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第1单元  勾股定理的应用

一、单选题

1．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“勾股定理的应用今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为（    ）

A．x2﹣（x+3）2＝82 B．x2﹣（x﹣3）2＝82

C．（x+3）2﹣x2＝82 D．x2﹣（x﹣3）2＝8

2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　）

A．5m B．6m C．3m D．7m

3．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　）

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm

4．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）cm

A．8 B．4 C．2 D．12

5．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ）

A．x2＋62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2

C．x2＋6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2

6．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（   ）

A．1500m B．1200m C．1000m D．800m

7．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　）

A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m

9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（    ）

A．4尺 B．4.55尺 C．5.45尺 D．5.55尺

10．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　）

A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm

11．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺

A．8 B．10 C．13 D．12

12．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）

A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米

二、填空题

13．如图，一艘轮船以8海里/时的速度从港口O出发向东北方向航行，另一轮船以6海里/时O出发向东南方向航行，离开港口0.5小时后，两船相距_________海里．

14．如图，一木杆在离地面9米处断裂，木杆顶部落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高_______米．

15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为______尺．

16．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为___．

三、解答题

18．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．

19．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？

20．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．

21．如图，，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，隧道总长为2公里，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道一公里造价为500万元，公里，公里，则改建后可省工程费用多少万元？

22．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：

（1）站应建在距站多少千米处？

（2）和垂直吗？说明理由．

参考答案

1．B

2．A

3．B

4．B

5．A

6．A

7．D

8．C

9．B

10．D

11．D

12．A

13．5

14．24

15．14.5

16．12

17．4

18． 解：李叔叔不超速，理由如下：

如图，

Rt△ABC中，AC=7，AB=25，

由勾股定理得：BC==24，

v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），

∵57.6＜60，

∴李叔叔不超速．

19． 解：由题意得：AB=2.5米，BO=0.7米，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：

（米）．

∴MO=AO-AM=2.4-0.4=2（米），

在Rt△MNO中，由勾股定理得：

（米）．

∴NB=ON-OB=1.5-0.7=0.8（米），

∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．

 20．

 如图，△ABC中，AB= AC= 10，BC= 16，过点A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=BC=×16=8

∴∠ADB=90°

.∴ AD===6

∴S =BC×AD=×16×6=48

∴这个等腰三角形的面积是48

 21． 解：根据勾股定理得：

原计划建公路费用：万元，

实际打隧道及建公路费用：万元,

万元，

答：改建后可省工程费11600万元．

 22．

 解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．

∴DE=CE，

∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，

∴AE2+AD2=BE2+BC2，

设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），

∵DA=8km，CB=6km，

∴x2+82=（14-x）2+62，

解得：x=6，

∴AE=6km．

答：E站应建在距A站6千米处；

（2）DE和EC垂直，理由如下：

在△DAE与△EBC中，

，

∴△DAE≌△EBC（SAS），

∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，

∵∠DEA+∠D=90°，

∴∠DEA+∠CEB=90°，

∴∠DEC=90°，

即DE⊥EC．