2021-2022学年河南省濮阳市高一下学期数学期中考试试题含解析

2021-2022学年河南省濮阳市高一下学期数学期中考试试题

一、单选题

1．在中，，则（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即得．

【详解】因为，所以，

由正弦定理可得，，即，

解得．

故选：B．

2．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.

【详解】，

所以.

故选：A.

3．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（       ）

A．在的内部 B．在的边上

C．在的边上 D．在的外部

【答案】C

【分析】将化简，可得，即可选出答案.

【详解】因为

所以

即，

所以点为中点.

故选：C.

4．在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（       ）

A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定

【答案】C

【分析】根据正弦定理即可判断三角形解的个数.

【详解】由正弦定理，有，即，

所以，则此三角形无解.

故选:C.

5．若向量与向量共线，则（       ）

A．0 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】利用向量共线的坐标表示及数量积的坐标公式即可求解.

【详解】因为向量与向量共线，

所以，解得，，

所以.

故选：D.

6．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是

A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥

B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台

【答案】D

【详解】以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误.

有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误.

有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误.

根据棱台的定义，可得D正确.

本题选择D选项.

7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由是的中点可知：，则，由此即可计算出答案.

【详解】因为是的中点，所以,

又因为，，所以

所以.

故选：C.

8．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.

【详解】等腰梯形的面积

则原平面图形的面积.

故选：C.

9．如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算及三点共线的定理，结合平面向量的基本定理即可求解.

【详解】由得

因为点是的中点，所以

由三点共线知，存在实数，满足，

由三点共线知，存在实数，满足，

所以，又因为为不共线的非零向量，

所以，解得，

所以，即，

所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；

，故C不正确.

故选：B.

10．设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用圆柱的体积公式以及圆的面积、周长公式进行求解处理.

【详解】因为甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，且，

所以甲､乙两个圆柱的底面半径满足：，

所以甲､乙两个圆柱的底面周长满足：，

又因为甲､乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲､乙两个圆柱的高满足：，

所以甲､乙两个圆柱的体积满足：.故A，B，D错误.

故选：C.

11．如图，为了测量河对岸电视塔的高度，小王在点处测得塔顶的仰角为，塔底与的连线同河岸成角，小王向前走了到达处，测得塔底与的连线同河岸成角，则电视塔的高度为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在中由正弦定理可求出，代入，即可求出答案.

【详解】在中：

由正弦定理有：，

在中:.

故选：A.

12．已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（       ）

A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心

【答案】B

【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项.

【详解】因为，所以

，

所以，所以

，

所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，

同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，

故选：B.

二、填空题

13．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是________．

【答案】钝角三角形

【分析】利用正弦定理把角化为边，结合余弦定理可判断三角形的形状.

【详解】由正弦定理原式可化为，

由余弦定理，所以为钝角.故的形状是钝角三角形.

【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，一般求解思路是先边角进行转化，从边的角度或者是从角的角度进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．已知复数，则复数___________.

【答案】

【分析】先利用等比数列的前n项和求出，利用的周期性即可求解.

【详解】

.

因为，而，

所以，所以.

故答案为：

15．是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为___________.

【答案】

【分析】根据向量的线性运算的法则及向量的共线定理，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】因为，所以，即.所以且方向相同，

因为，，

所以，即.

所以的面积为.

故答案为：.

16．如图所示三棱锥，其中，，则该三棱锥外接球的表面积___________.

【答案】

【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．

【详解】

因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，

设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．

故答案为: .

三、解答题

17．求实数分别取何值时，复数满足下列条件：

(1)复数为纯虚数；

(2)复数对应的点在复平面的第二象限内.

【答案】(1)7

(2)

【分析】（1）由复数为纯虚数，列不等式组，即可求解；（2）由复数对应的点在复平面的第二象限内，列不等式组，即可求解.

【详解】(1)复数为纯虚数，

需满足：，解得：.

(2)要使复数对应的点在复平面的第二象限内，

需满足：，解得：或.

所以实数的范围为.

18．已知向量.

(1)求；

(2)若，求实数的值；

(3)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】利用平面向量线性运算、向量相等、向量平行的坐标表示进行求解.

【详解】(1)，

.

(2)，

又，，

所以 ，解得，

所以.

(3),

，

，

，

，

解得.

19．已知是夹角为的两个单位向量，.

(1)求的值.

(2)求与的夹角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可求出，代入即为答案；

（2）由题意即可写出,，则可求出，即可写出答案.

【详解】(1)由题意知:

所以

(2)由题意知,

所以与的夹角为.

20．如图，在中，，点在边上，为锐角.

(1)求；

(2)若，求的长.

【答案】(1)8；

(2).

【分析】（1）在中，由余弦定理求解；

（2）由余弦定理求得，然后由两角差的正弦公式计算．最后在中由正弦定理即可得解.

【详解】(1)在中，由余弦定理得：，

所以，

解得或，

当时，，

此时，不符合题意，舍去；

当时，，

此时，符合题意，故；

(2)在中，，而∠BAD为三角形内角，

所以，

又由（1）可得，

所以，

在中，由正弦定理得：，

所以

.

21．如图所示，在四棱锥，平面，，是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）本题可通过线面平行的性质证得；

（2）本题可取的中点，连接、，然后根据三角形的中位线的性质得出、，再然后根据平行四边形的性质得出，最后根据线面平行的判定即可得出结果.

【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，

所以.

（2）如图，取的中点，连接、，

因为是的中点，所以，，

因为，，所以，，

则四边形是平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面.

22．已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】(1);(2) .

【详解】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．

详解：(1)由题意及正、余弦定理得，

整理得，

∴

（2）由题意得，

∴，

∵，

∴，

∴.                  

由余弦定理得，

∴，

 ，当且仅当时等号成立．

∴．

∴面积的最大值为．

点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．

（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．