2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值为（       ）

A． B．2 C．2i D．

【答案】A

【分析】利用复数的乘法与乘方进行计算即可.

【详解】.

故选：A

2．若角满足，，则是（       ）

A．第二象限角 B．第一象限角 C．第一或第三象限角 D．第一或第二象限角

【答案】C

【详解】∵角满足，

∴在第二象限，即

∴

∴是第一或第三象限角

故选C

3．已知向量，，则与夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接由向量夹角公式求解即可.

【详解】.

故选：B

4．下列说法正确的个数是（       ）

①两个有公共终点的向量是平行向量；

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；

③向量与不共线，则与都是非零向量；

④若，，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由平行向量判断①③；由相等向量判断②④

【详解】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确.

故选：B

【点睛】本题考查平行向量及相等向量的概念，注意零向量的考查是基础题

5．在中，，，，则此三角形（       ）

A．无解 B．一解

C．两解 D．解的个数不确定

【答案】C

【分析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.

【详解】在中，，，，

由正弦定理得，而为锐角，且，

则或，

所以有两解．

故选：C

6．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，

又是线段的中点，所以，

所以．

故选：A．

7．把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝－ B．x＝－

C．x＝ D．x＝

【答案】A

【详解】把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得 ，再将图象向右平移个单位长度得，一条对称轴方程为x＝－   ，选A.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.

8．设，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合三角恒等变换化简，结合三角函数的单调性确定正确选项.

【详解】.

.

.

由于，

所以.

故选：D

9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（       ）

A．等腰三角形非直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理对化简变形分析判断即可

【详解】因为，

所以由余弦定理得，

化简得，

所以为直角三角形

10．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出与的夹角为钝角时k的范围，即可判断.

【详解】当与的夹角为钝角时，，且与不共线，即所以且.故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.

故选B.

11．已知，函数在区间内单调递增，则的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，由得，包含在此区间，利用正弦函数性质，有，从而可得范围．

【详解】时，，，

由于，所以，且，解得．

故选：B．

12．在中，，，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围.

【详解】，以为邻边作平行四边形，如下图：

所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，，所以，在中，

，

设，

所以当 时，，是增函数，故，因此本题选D.

【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.

二、填空题

13．已知，则___________．

【答案】

【分析】求出的值，在所求等式上除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】因为，若，则，与不符，矛盾，

所以，，所以，，

因此，.

故答案为：.

14．已知，，则___________．

【答案】

【分析】求出的坐标，由模的坐标表示计算模．

【详解】由已知，

所以．

故答案为：．

15．复数对应的向量与共线，对应的点在第三象限，且，则___________.

【答案】

【分析】设复数，然后利用复数的几何意义以及复数模的定义，构造方程组，求解，，即可得到，从而求出共轭复数．

【详解】解：设复数，，

因为复数对应的向量与共线，

则有①，

又，则②，

由①②可得，，或，，

因为对应的点在第三象限，

所以，

则．

故答案为：．

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则△ABC的面积最大值为___________．

【答案】

【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可．

【详解】在中,，，

，得

因为，当且仅当时等号成立，

所以得

，当且仅当时等号成立，

故答案为：．

三、解答题

17．复数．

(1)当m为何值时，z是纯虚数．

(2)当m为何值时，z为实数？

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）（2）根据复数属于纯虚数、实数，列不等式组求m值即可.

【详解】(1)若z是纯虚数，则，即，可得或，

所以或时，z是纯虚数．

(2)若z为实数，则，可得，

所以时，z为实数.

18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，且，求的坐标；

(2)若，且与的夹角为，求的值．

【答案】(1)或

(2)0

【分析】（1）设，由向量模的坐标表示可求得，从而得向量的坐标；

（2）由数量积定义求得，再由数量积的运算律计算．

【详解】(1)由，可设，

∵，

∴，

∴，

∴或

(2)∵与的夹角为，

∴，

∴

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A；

(2)若，且BC边上的中线AM的长为，求此时△ABC的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理作边化角，再利用三角函数的和差公式，化简求解即可.

(2)设，，在△ACM中，利用余弦定理求出，即求出，然后，在△ABC中，再次利用余弦定理求出，最后可得△ABC周长.

【详解】(1)在△ABC中，

∵．

∴由正弦定理得：，

∵，

∴化简可得：，

∵，

∴，

∴由，可得：．

(2)

设等腰三角形腰长为x，

即，，且由于，

在△ACM中，由余弦定理得：，

即，

解得：，

又因为，，

解得

则△ABC的周长．

20．已知向量.

（1）当时，求的值.

（2）求在上的最大值与最小值.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）根据平面向量垂直的性质，结合二倍角正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可；

（2）根据平面向量加法和数量积的坐标表示公式，结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，

即；

（2），

即，

当时，有，

所以，.

21．2022年2月4日，冬奥会在北京与张家口开幕，如图，四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状，区域四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，，，．

(1)求氢能源环保电动步道AC的长；

(2)若，求花卉种植区域总面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）△ADC中用余弦定理求解即可；

（2）分别求出△ABC和△的面积即可解决.

【详解】(1)∵，，∴，

在△ADC中，由余弦定理可知，

即．

(2)在△ABC中，由余弦定理可得，

即，

解得或（舍去），即，

即，

，

所以花卉种植区域总面积为．

22．已知向量，

(1)设函数，求的单调递增区间；

(2)设函数，若的最小值是，求实数的值．

【答案】(1)的单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得，可得的单调递增区间.

（2）利用余弦函数的定义域和值域求得的范围，再利用二次函数的性质，依据题意，分类讨论，求得正实数的值.

【详解】(1)，

由得：，

所以，的单调递增区间为；

(2)因为，

所以，，

所以，，

令，则，

则，．

当时，在区间上单调递增，

由；

当时，，解得，

当时，在区间上单调递减，

由，得，舍去，

综上所述，．