2021-2022学年黑龙江省大庆实验中学高二实验一部下学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省大庆实验中学高二实验一部下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知命题，总有，则命题p的否定为（       ）

A．，使得 B．，使得

C．，总有 D．，总有

【答案】B

【解析】由全称命题的否定形式是，否定原结论，即可知正确答案.

【详解】根据全称命题的否定形式知，，总有的否定为：，有，

故选：B

【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.

2．设，则“是第一象限角”是“”的                     

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.

【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

3．已知的解集为（），则的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】依题意可得为方程的根，代入计算可得；

【详解】解：因为的解集为（），

所以为的根，所以.

故选：B

4．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】理解题意，将数据代入解析式，即可求解.

【详解】由条件可知，求得，

小狗的体重5000g时，

，

，

比较选项，，，

，，最接近的脉搏率.

故选：B

5．已知是三个集合，若，则一定有（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据，以及，结合已知条件，即可判断集合之间的关系.

【详解】因为，又，

故可得，则；

因为，又,

故可得，则；

综上所述：.

故选：A.

【点睛】本题考查由集合的运算结果，求集合之间的关系，属基础题.

6．已知、，，则当取最小值时，的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得出，进而可得出，利用基本不等式求出的值，利用等号成立的条件求得，进而可得出的值.

【详解】由得，，

，等号成立时，即，

此时.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.

7．已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】关于的方程有且仅有两个不同的整数解,等价于图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，画出函数图象，利用数形结合可得结果.

【详解】

,

当且仅当时，，

方程有且仅有两个不同的整数解等价于，

有两个不同的整数解，

即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，

画出的图象，如图，

，

由图象可知，当时，即时，

图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数，

所以的取值范围是，故选A.

【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了绝对值三角不等式的应用以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

8．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.

【详解】由，得 ，

设 ，则，

当时，，单调递增，

因为，所以，

所以，故，则 ，

即有，

故.

故选：C.

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】利用奇函数的定义和单调函数的组合性质可判定A;由对数函数的性质和及偶函数的定义可判定B中函数不是奇函数；根据正切函数和幂函数的性质可以判定CD.

【详解】A：将记为,,为奇函数，

由于为单调递增函数，为单调递减函数，所以为单调递增函数，

故A正确；

B: 将记为是偶函数且不是奇函数，,，不满足奇函数的定义，

故B错误；

C：根据正切函数的性质，是奇函数，在定义域内的各个连续区间内单调递增，但在整个定义域内不是单调增函数，比如,故C错误；

D：根据幂函数的性质，是奇函数，且在定义域内是单调递增函数，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，涉及幂指对函数和三角函数，关键要注意正切函数在定义域内的每一个连续区间上都是单调递增函数，在整个定义域内不具有单调性.

10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．的定义域是

B．的最小值是

C．在区间上是增函数

D．的解集是

【答案】ABC

【分析】对于A：由函数的解析式得函数的定义域是；

对于B：根据基本不等式得；

对于C：当时，单调递减，所以，而在上单调递减，根据复合函数的单调性可判断；

对于D：令，解得或，再根据复合函数的单调性得出函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，再由函数是偶函数，可求得的解集.

【详解】解：对于A：因为函数，所以函数的定义域是，故A正确；

对于B：因为，当且仅当，即时，取等号，故B正确；

对于C：当时，单调递减，所以，而在上单调递减，所以在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，故C正确；

对于D：令，即，解得或，即或，

又当时，单调递减，所以，而在上单调递减，所以在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，

当时，单调递减，所以，而在上单调递增，所以在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，

又，所以函数是偶函数，因为函数的定义域是，所以的解集是，故D不正确；

故选：ABC.

11．已知函数，下列结论正确的是（       ）

A．是奇函数

B．若在定义域上是增函数，则

C．若的值域为，则

D．当时，若，则

【答案】AB

【分析】对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知即可求解； 对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合的值域为，即可求解；对于D，将等价于，利用函数定义域及单调性即可求解；

【详解】对于A，当时，，，；

当时，，，，所以是奇函数，故A正确；

对于B，由在定义域上是增函数，知，解得，故B正确；

对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为，

当时，在区间上单调递增，此时值域为，要使的值域为，则，解得，故C错误；

对于D，当时，由于，则在定义域上是增函数，等价于，

即，解得，故D错误；

故选：AB

12．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（       ）

A．在处取得极大值，极大值为

B．有两个零点

C．若在上恒成立，则

D．

【答案】ACD

【分析】对A，根据，，求，求出，根据极值定义进行判断；

对B，根据单调性和零点定义，结合图象判断；

对C，要保证在上恒成立，即，通过构造函数求其最值，进行判断；

对D，根据单调性，和对数比较大小，进行判断.

【详解】对A，，且，可得：，

可得：，故（为常数），

又，可得：，求得：，故：，

整理可得：，，

，

当，即，解得：，，此时单调递增，

当，即，解得：，，

当，即，解得：，，此时单调递减，

，取得极大值，，故A说法正确；

对B，，，，，，，

画出草图，如图：

根据图象可知：只有一个零点，故B说法不正确；

对C，要保证在上恒成立，

即：保证在上恒成立，

，可得在上恒成立，

故：只需，令，

当时，，当时，

当时，，即，

，故C说法正确；

对D，根据，单调递增，，单调递减，

，可得，

又，，，

故：，故D说法正确.

综上所述，正确的说法是：ACD

故选：ACD.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的极值，构造函数法求解函数解析式，函数零点个数判断，利用函数单调性解不等式等知识点，综合性强，难度大，其中对于构造函数法对函数基本模型要求高，在解题过程中要注重积累，不等式恒成立问题的求参往往采用分离参数法，转变成求解函数最值为题.

三、填空题

13．设是定义在上的奇函数，且，则___________.

【答案】1

【分析】根据奇函数的性质求解即可.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以.

故答案为：1.

14．在数学中，我们经常遇到定义（definition）．定义是指对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．对于函数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“准奇函数”，请写出一个“准奇函数”的解析式为_____．

【答案】或

【分析】由可得的图象关于点对称，结合基本初等函数即可得出答案.

【详解】由,即

所以的图象关于点对称

由或均为奇函数，其图象关于原点对称.

所以或图象关于点对称

故答案为：或   （答案不唯一）

15．已知，，下面四个结论：

①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）

【答案】①③④

【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果

【详解】对于①，因为，所以，即，

因为，，所以，所以①正确，

对于②，因为，所以，

所以

，

当且仅当，，即时取等号，所以②错误，

对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确，

对于④，因为，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，

故答案为：①③④

16．已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为______．

【答案】1

【分析】不等式，化为不等式，设，利用导数和函数最值的关系求出，可得的关系，在构造函数利用导数求出函数的最小值即可．

【详解】解：不等式，化为不等式，

设，，

当时，，在上单调递减，

则函数无最小值，不符合题意，

若时，令，，

在时，，为增函数，

在时，，为减函数．

由题意可得，

当时，，

因为，所以，所以

则，

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

所以，

即的最小值为1．

故答案为：1.

【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了不等式恒成立的问题，考查了双变量问题，考查了运算能力和转化思想，有一定的难度．

四、解答题

17．不等式的解集是A，关于x的不等式的解集是B.

(1)若时，求；

(2)设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）时，求出集合，，由此能求出．

（2）利用不等式的解法求解出命题，中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母的不等式，从而求解出的取值范围．

（1）解：不等式的解集为，关于的不等式的解集为，时，，．

（2）解：当时，的解集为；若是的必要不充分条件，，，则； 故的取值范围是．

18．已知函数，其中.

（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；

（2）已知函数的图象经过点，且，求的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为12，最小值为0.

【分析】（1）由函数恰好有三个单调区间，可知有两个不相等的实数根，从而得，进而可求出实数的取值范围；

（2）由图象经过点，可求出，则，然后利用导数求出的最大值和最小值

【详解】解：（1）由，

得.

∵存在三个单调区间，

∴有两个不相等的实数根，即.

∴，即，

故.

（2）∵图象经过点，

∴，得，

∴，

，.

的单调性和极值情况列表如下：

故的最大值为12，最小值为0.

19．已知，函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可；

（2）将方程进行变形，得到，求出两个根，分三种情况求解即可．

（1）解：当时，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集为；

（2）解：由，可得，解得，，若，则，检验定义域，符合题意；若是原方程的解，则，；若是原方程的解，则，即．因为方程的解集恰有一个元素，所以实数的取值范围为．

20．已知函数在处的切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；

（2）问题转化为k＜=对任意x＞2恒成立，设h（x）=（x＞2），根据函数的单调性求出k的最大值即可．

【详解】（1），

所以且， 解得，

（2）由（1）与题意知对任意的恒成立，

设，则，令，则，所以函数为上的增函数.

因为，

所以函数在上有唯一零点，即有成立，

所以

故当时， ，即；

当时， ，即

所以函数在上单调递减，在上单调递增

所以所以，因为，所以，又因所以最大值为

【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.

21．对于函数．

(1)若，且为奇函数，求的值；

(2)设，，若对任意实数，当时，满足，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可得恒成立，从而得到对定义域内任意恒成立，则，进而解得的值；

（2）易知函数在上为减函数，当时，满足，即，再构造函数，利用单调性即可求解．

（1）解：，，又为奇函数，，对定义域内任意恒成立，，解得或或（舍去）或（舍去），当时，，定义域为，符合奇函数的条件，当时，，与定义域为，符合奇函数的条件，综上；

（2）解：令，则在上为减函数，又在上为增函数，函数在上为减函数，当时，满足，则，，即对任意的恒成立．设，又，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，，即．

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参及对数的运算，考查了对数不等式恒成立问题，考查了转化思想，有一定的难度.

22．设．

（1）求证：当时，；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）详见解析（2）

【详解】试题分析：（1）利用导数确定函数单调性：这要利用两次求导，，，先确定导函数单调性，为递增函数，再确定导函数符号为非负，从而确定原函数单调性，为增函数，最后根据单调性可证不等式（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：即证明的最小值非负，因为，所以 ，再由（1）结论放缩可得，利用导数易得

试题解析：（1）证明：，则，

        设，则，

       当时，，即为增函数，所以， 在时为增函数，所以 ．

     （2）解法一：由（1）知时，，所以 ，

       设 ，则，

       设，则，

       当时，所以为增函数，

       所以，所以为增函数，所以，

       所以对任意的恒成立.

     又，时，，所以时对任意的恒成立.

     当时，设，则，

     ，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意.     

     综上，实数的取值范围为.

   （2）解法二：因为 等价于

   设，则

     可求，        

     所以当时，恒成立，在是增函数，

     所以，即，即

     所以时，对任意恒成立．

     当时，一定存在 ，满足在时，，

     所以在是减函数，此时一定有，

     即，即，不符合题意，

     故不能满足题意，

     综上所述，时，对任意恒成立．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.