2023届黑龙江省大庆实验中学高三实验一部上学期开学考试数学试题含解析

 2023届黑龙江省大庆实验中学高三实验一部上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．设，，则等于

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，，

两个集合均为点集，所以交集为直线的交点组成的集合.

由,解得，

所以.

故选B.

2．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.

【详解】依题意，点到原点距离，

所以.

故选：A

3．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】按照三角函数伸缩变换及平移变换求解即可求得结果.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象.

故选：A.

4．若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的单调性求出a的取值范围，再求出函数的定义域，利用复合函数单调性求解作答.

【详解】且，函数与在R上有相同的单调性，即函数与函数在R上有相同的单调性，

因此函数在R上单调递增，，在中，，解得或，

显然函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为.

故选：B

5．设为数列的前n项和．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】为数列的前n项和，且，

当时，，，，，则，

当时，有，，，则，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知有是的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用、表示，即可得结果.

【详解】由题意，是的重心，

=，

，故.

故选：D

7．函数有（    ）个不同的零点

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由结合正弦函数的性质得出零点的个数.

【详解】易知在上单调递增，，即函数在上只有一个零点；

当时，，由得出，即，，，解得，即在上有4个零点.

综上，有5个零点.

故选：C

8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（    ）

A．21 B．24 C．27 D．36

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.

【详解】在中，，由正弦定理得，

即，由余弦定理得，而，则，

因角A的内角平分线的长为3，由得：，

即，因此，则，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值27.

故选：C

二、多选题

9．函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（    ）

A．是的零点

B．是的极大值点

C．在区间上单调递减

D．在区间上不存在极小值

【答案】AD

【分析】根据给定的图象，探讨值的符号，进而判断函数的性质，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，当或时，，当时，，

因此函数在，上单调递减，在上单调递增，

是的极小值点，而不一定为0，A不正确；

是的极大值点，B正确；

，即在区间上单调递减，C正确；

是的极小值点，在区间上存在极小值，D不正确.

故选：AD

10．下列说法中正确的有（    ）

A．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是

B．若非零向量，满足：，则与的夹角为

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．已知向量不能作为平面内所有向量的一组基底

【答案】CD

【分析】利用投影向量的意义判断A；求出向量与的夹角判断B；利用向量数量积的运算性质判断C；利用共线向量的坐标表示判断D作答.

【详解】对于A，向量，，则则向量在向量上的投影向量是，A不正确；

对于B，非零向量，，，则，

，，

则，而，则有，B不正确；

对于C，两个非零向量，，由两边平方得：，

所以，

而，则有，则与共线且反向，C正确；

对于D，向量，显然有，即，

，不能作为平面内所有向量的一组基底，D正确.

故选：CD

11．各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，下列命题正确的是（    ）

A．若，则必有是中最小的项 B．若，则必有

C．若，则必有 D．若，则必有

【答案】BC

【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A，B；利用推理判断C，D作答.

【详解】正项等比数列的前n项积为，，公比，

当时，，而，则，即，而，有，数列单调递减，

因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A不正确；

由选项A知，，B正确；

当时，，而，则，数列单调递减，，有，C正确；

因，由C选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D不正确.

故选：BC

12．已知，，，且计算可知．下面结论正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定的条件，结合二倍角的正弦、余弦公式及诱导公式，逐项计算判断作答.

【详解】，，，，

，因此，A正确；

，，则，

因此，B正确；

，C正确；

显然，则，

而，则，即，因此，D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13．已知是的共轭复数，则_________

【答案】

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算化简，再利用共轭复数的定义计算作答.

【详解】，依题意，，则有，

所以.

故答案为：

14．已知船在灯塔北偏东处，且到的距离为，船在灯塔北偏西处，且，两船的距离为，则到的距离为______.

【答案】

【分析】由题作出图形,再利用余弦定理求解即可.

【详解】由题,如图所示,

则,,,

所以根据余弦定理可得,

解得或（舍）,

故答案为:

【点睛】本题考查余弦定理在实际中的应用,考查作图能力,考查运算能力.

15．已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据数列是严格递增数列求得，再结合求得a的取值范围．

【详解】解：∵ 数列严格递增，

当时，，

，

∴当时，递增，

，

即，

解得，

∴ ．

故答案为：．

16．已知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】对求导判断在上的单调性，再对已知不等式变形为，再构造新函数，根据单调性的定义可判断单调递减，再由恒成立，转化为最值问题即可求解.

【详解】因为，

所以，

因为，所以，可得在单调递减，

因为，，所以，

所以

可变形为，

不妨设，则，，

所以，即，

令，则，所以在单调递减，

所以对于恒成立，

，

对于恒成立，

所以对于恒成立，

即对于恒成立，所以，

因为在单调递减，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法

（1）分离参数法

若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.

（2）数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

（3）主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.

四、解答题

17．已知函数，

(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；

(2)讨论函数在区间上的单调性

【答案】(1)；；

(2)在上单调递增，在上单调递减.

【分析】（1）根据给定的函数，利用辅助角公式变形，再借助正弦函数的性质求解作答.

（2）由（1）的信息，利用正弦函数的单调性求解作答.

【详解】（1）函数，因此函数的最小正周期，

由得，，所以函数的对称轴方程为.

（2）由（1）知，，当时，，

由得：，由得：，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

18．已知数列的前n项和为，且满足

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求的值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；

（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．

【详解】（1）证明：由①得

②，

②①得

，

即，

当时，，

解得，

是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知

，

，

．

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.

（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.

【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，

整理得，由余弦定理得：，而，

所以.

（2）由（1）知，，由正弦定理得：，

则，而，令，

在锐角中，，解得，，

于是得，则，

所以周长的取值范围是.

20．已知数列满足：，

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知求得，把n分为奇数、偶数分别求得通项公式；

（2）当时，由错位相减法求得；当时，利用求得．进而求得．

【详解】（1）解：由①得

②，

②①得

，

，，

，

∴ 当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

综上．

（2）令，

令，，

令，，

，

当n为偶数时，令，

，

①得

，

得

，

；

当n为奇数，令，

则

，

．

综上．

【点睛】本题的技巧是求n为奇数时的，可用n为偶数时的结论，这样可以减少运算．

21．已知函数，其中

(1)求的单调区间；

(2)恒成立，求a的值．

【答案】(1)递减区间是，递增区间是；

(2)2.

【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式即可作答.

（2）利用（1）的信息，求出的最小值，再构造函数并求出其最大值即可作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得函数，

因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）由（1）知，函数在处取得最小值，，

令，，当时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，

于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，

从而得，所以.

22．已知，为的导函数．

(1)求在的最小值；

(2)，当时，证明：.

【答案】(1)0；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出，再利用导数求出在上的最小值作答.

（2）由（1）的结论，将不等式转化为，再构造函数，分推理作答.

【详解】（1）依题意，，，令，，当且仅当时取等号，

则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，

所以当时，函数取得最小值.

（2）由（1）知，，，而，则，

因此，当时，，

当，时，令，

当时，，，令，，

，则函数，即在上单调递增，又，

则当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

即有，因此当时，，

当，时，，令，，，

则函数，即在上单调递增，，

令，，，函数在上递增，

，即，有，

，令，，则函数在上递减，

，即，有，因此存在，使得，即，

当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，而，即有，

因此当，时，，

综上得，当时，，即，

所以，当时，不等式成立.

【点睛】关键点睛：涉及不等式证明问题，可以将给定不等式一边放缩变形，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.