2021-2022学年黑龙江省大庆市实验中学高二实验一部下学期4月阶段性质量检测（月考）数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省大庆市实验中学高二实验一部下学期4月阶段性质量检测（月考）数学试题

一、单选题

1．把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（       ）

A．7种 B．12种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】由题意可得每封信都有4种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果

【详解】由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，

所以由分步乘法计数原理可得共有种投法，

故选：D

2．要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同的排法共有（       ）种

A．1440 B．960 C．720 D．240

【答案】A

【分析】将两位导游看作一个人，和其他人一起全排列，可得答案.

【详解】因为两位导游要相邻，因此将两位导游看作一个人，内部排列有种排法，

将两位导游看作一个人和其他人全排列有种排法，

因此根据乘法原理共有种排法，

故选：A

3．函数的单调递增区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，然后可得答案.

【详解】因为，所以，

所以由可得，

所以函数的单调递增区间为，

故选：A

4．若，则正整数的值是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．2或3

【答案】D

【分析】直接根据组合数的性质求解即可.

【详解】,

或者，

解得或，

经检验，都成立，

故选：D

5．设等比数列的前n项和为，若，则=（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】B

【分析】直接利用等比数列的前项和性质得到答案.

【详解】等比数列的前n项和为，则成等差数列，

，即，故，故，故.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的前项和性质，意在考查学生的计算能力和转化能力.

6．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为（       ）

A．12 B．24 C．36 D．48

【答案】B

【分析】不相邻问题用插空法可解.

【详解】问题可看做是将3个不同元素与3个完全一样的元素排成一列，且三个不同元素不相邻的问题.第一步，将3个相同元素排成一列，共1种方法；第二步，将三个不同元素插入到4个空位中，共种方法.所以不同的选择方案共有24种.

另解：依题意，因为甲、乙、丙三人所选社区编号各不相同且不相邻，所以先找三人所选社区编号，三人所选社区编号有1，3，5；1，3，6；1，4，6；2，4，6四种情况，然后在每种情况下安排甲、乙、丙三人有种情况，所以不同的选择方案共有种.

故选：B.

7．现有1，2，5，5，8，8六个数字，用这六个数字随意组成一个六位数，则可组成的六位数的个数为（       ）

A．96 B．180 C．360 D．720

【答案】B

【分析】先将6个数字全排列，然后除以重复的情况即可.

【详解】由六个数字组成六位数，全排列有种情况，而这六个数字中有两个5和两个8，则共可以组成个六位数，即可组成的六位数的个数为180．

故选：B．

8．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅.”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有名志愿者要到个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（       ）

A．种 B．种

C．种 D．种

【答案】C

【分析】首先结合平均分组的方法可求得甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排个人的方案种数；接着计算小李和小王在一起的安排方案数，则利用间接法得到结果.

【详解】甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排个人，共有：种；

其中小李和小王在一起的安排有：种；

小李和小王不在一起的安排方案有：种.

故选：C.

9．若，则=（     ）

A．244 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.

【详解】根据，

令时，整理得：

令x = 2时，整理得:

由①+②得，，所以.

故选：D.

10．展开式中常数项为（       ）

A． B．0 C．15 D．80

【答案】B

【分析】由的通项得出展开式中常数项.

【详解】的通项为

当时，；当时，

则展开式中常数项为

故选：B

11．某职校选出甲､乙､丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲､乙､丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（       ）

A．72种 B．36种 C．96种 D．48种

【答案】D

【分析】由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可

【详解】由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，

当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；

当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.

故共有种不同的情况.

故选：D.

12．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求导，将有两个极值点转化为和的图像有两个交点，画出图像，通过切线解决即可.

【详解】，因为有两个极值点，故有两个根，

即和的图像有两个交点，画出图像，

若，显然1个交点，不合题意；若，设直线和相切于点，

则，解得，故切点是，故，解得.

故选：C.

二、填空题

13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.

【答案】0.5

【分析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】依题意，，，所以.

故答案为：

14．已知函数，若时，取得极值0，则___________.

【答案】

【分析】由题意可得，列方程组可求出，然后再检验时，函数是否能取得极值，即可得答案

【详解】由，得，

因为时，取得极值0，

所以，，

解得或，

当时，，此时函数在在处取不到极值，

经检验时，函数在处取得极值，

所以，所以.

故答案为：18

15．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据数列为递增数列，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，数列为递增数列，

则满足，即，解得，

即实数a的取值范围为.

故答案为：

16．若的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出幂指数n的值，再求出第r+1项的系数，列出不等式并求解作答.

【详解】因的展开式中各项的二项式系数之和为256，则，解得，

的展开式中第r+1项的系数为，，

而，则当r为奇数时，第r+1项的系数为负，当r为偶数时，第r+1项的系数为正，

由仅有展开式的第5项的系数最大得：，化简整理得：，解得，

所以a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．

三、解答题

17．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．

(1)求n的值；

(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．

【答案】(1)8；

(2).

【分析】（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.

（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.

【详解】(1)由题意，二项式展开式的通项公式．

所以第三项系数为，第四项系数为，

由，解得，即n的值为8．

(2)由（1）知：．

当，3，6时，对应的是有理项．

当时，展开式中对应的有理项为；

当时，展开式中对应的有理项为；

当时，展开式中对应的有理项为；

故展开式中有理项的系数之和为．

18．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，，若时，的最小值是3，求实数a的值（e是自然对数的底数）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义可求出切线的斜率，点斜式写出切线方程即可得解；

（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数的最小值是3，建立方程即可求出a的值．

【详解】(1)∵，，

∴，故，

又∵，

∴曲线在点处的切线方程，

即．

(2)由，，

，

令，得

①当时，即时，在上恒成立，

则在上单调递减，，解得（舍去）;

②当时，即时，列表如下：

由表知，，得，满足条件．

综上， ．

20．已知数列的前项和为，且．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用当时，，可得，等式两边同时减去2，可得，可得证明；

（2）将代入的表达式中，利用裂项相消法可得数列的前项和.

【详解】解：（1）当时，，则．

当时，因为，所以，

则，即．

从而，即，

因为，所以，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．

（2）由（1）可得，即．

因为，所以，

则，

故．

【点睛】本题主要考查等比数列的性质、数列前项和与数列通项的关系及数列求和的裂项相消法，考查学生的计算能力及运用知识解决相关问题的能力，属于中档题.

21．已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)若时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对a进行分类讨论，利用导数求出单调区间；

（2）记 ，则有对a进行分类讨论，求出a的取值范围.

【详解】(1)的定义域为，

当时，恒成立，所以在上单调递减；

当时，令，解得：，所以在上单调递增；

令，解得：，所以在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递减.

当时， 在上单调递增，在上单调递减；

(2)设 ，

则有

当时，在上单调递增，所以满足题意；

当时，，且，

使时，单调递减，使得不合题意.

的取值范围为.

22．设函数，其中且，e是自然对数的底数.

(1)设是函数的导函数，若在上存在零点，求a的取值范围；

(2)若，证明：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，由分离参数并构造函数，求解其值域作答.

（2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.

【详解】(1)依题意，，由得：，

令，，则，即在上单调递增，

当时，，即，

由在上存在零点，则方程在上有根，因此有，解得，

所以a的取值范围是：.

(2)函数的定义域为，当时，，

令，，求导得：，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，当时， ，

令，，求导得：，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，当时， ，

因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，

即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，

所以.

【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.