2021-2022学年黑龙江省大庆市重点中学高二下学期期末考试数学试题含答案

大庆市重点中学2021-2022学年高二下学期期末考试

数学试题

说明：考试时间120分钟，满分150分．

一、单选题（本大题共12小题，共60．0分）

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若不等式的解集是，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A．  B．

C．  D．

4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

6．某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（    ）

A．60种 B．54种 C．36种 D．18种

7．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．函数在上的图象大致为（    ）

A．B．

C．D．

9．若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共2小题，共10．0分．每小题漏选得2分，错选不得分．）

13．下列命题正确的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．若a，，则

C．命题“，”的否定是“，”

D．设，“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件

14．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，，且时，都有，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．直线是函数图象的一条对称轴

C．函数在上为减函数

D．函数y=f（x）在上有5个零点

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

15．在的展开式中，项的系数为______．

16．已知，，，则的最小值为______．

17．已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____．

18．是定义在R上的奇函数，且满足，又当时，，则______．

四、解答题（本大题共5小题，共60．0分）

19．新冠疫情发生后，某生物疫苗研究所加紧对新冠疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为0.4．

（1）求2×2列联表中的p，q，x，y的值；

（2）依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析注射此种疫苗对预防新型冠状病毒是否有效？

附：，．

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=2，∠APD=90°，，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠DAB=60°．

（1）证明：平面PAD⊥平面POB；

（2）求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

21．党的十九大明确把精准脱贫作为全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某企业指导一贫困村通过种植某种药材来提高经济收入，通过调研得到如下统计数据：该药材年产量约为300千克/亩，种植成本为2000元/亩，近4年的收购价格如下表所示：

（1）通过调研发现近几年该药材的单价y（单位：元/千克）与年份编号x具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程：

（2）若某贫困户2020年种植了4亩这种药材，则该贫困户2020年种植该药材的收入大约为多少元？

附：最小二乘估计公式分别为，

22．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．

（1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；

（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加10分，若3次全部击中，则额外加20分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

23．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若关于x的方程有两个不等的实数根，求证：．

答案和解析

1．A  2．A  3．D  4．D  5．D  6．B  7．C  8．C  9．B  10．B  11．B  12．A

13．CD   14．ABC  15．35  16．   17．  18．

19．【答案】解：（1）由已知条件可知：

q=0.4×100=40，p=100-q=60，

x=60-20=40，y=40-30=10．

故p=60，q=40，x=40，y=10．

（2）∵，

∴依据小概率值的独立性检验，分析注射此利中疫苗对预防新型冠状病毒是有效的．

20．【答案】解：（1）证明：连结BD，

∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，

∴是等边三角形，∴BO⊥AD，

∵PA=PD，∴是等腰三角形，∴PO⊥AD，

∵，PO，平面PBO，∴AD⊥平面PBO，

∵平面PAD，平面PAD⊥平面POB，

（2）解：∵PA=PD=2，∠APD=90°

∴，

∵底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠DAB=60°，∴，

∵，∴，即PO⊥BO，

又由（1）知，BO⊥AD，PO⊥AD，

∴以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

，，，

设是平面的一个法向量，

∴，取，得，

设直线与平面所成角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

21．【答案】解：（1）根据表格中数据可得，

，

则，

，

所以关于的线性回归方程为．

（2）种植4亩该药材可收获药材（千克），

由（1）可知，当时，，

即2020年该药材的单价估计为38元/千克．

则有（元）．

所以该贫困户2020年种植该药材的收入大约为37600元．

22．【答案】解：（Ⅰ）设X为射手射击3次击中目标的总次数，则．

故．

（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为0，10，20，30，50，

则，，

，

．

故ξ的分布列是：

23．【答案】（1），其中

若，则在上恒成立，故在上为增函数；

若，当时，；

当时，；

故在上为增函数，在上为减函数．

（2）证明：方程即为，

故，

由（1）知，为上的增函数，所以

所以关于的方程有两个不等的实数根，即为：

有两个不同的实数根，．

所以，，所以，

不妨设，，故，

要证：，即证，

即证，即证，即证，

设，则，

故，所以在上为增函数，

故，s（t）在上为增函数，所以s（t）>s（0）=0，

故成立．