2022年浙江省衢州市中考数学试卷（Word解析版）

2022年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 计算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点落在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 如图是某品牌运动服的号，号，号，号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为(    )

A. 号
B. 号
C. 号
D. 号

5. 线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的长度可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问节号电池和节号电池的质量分别是多少？设节号电池的质量为克，节号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的解集是(    )

A.  B. 无解 C.  D.

8. 西周数学家商高总结了用“矩”如图测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端人眼望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高令，，若，，，则关于的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，则下列说法错误的是(    )

A.  B.
C. ≌ D.

10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算 ______．
12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的个白球和个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是______．
13. 如图，切于点，的延长线交于点，连结若，则的度数为______．

14. 将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中满足的一元二次方程：______不必化简．

15. 如图，在中，边在轴上，边交轴于点反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点若，，，则______．

16. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，，，，直到接近点，作于点每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，，作，，使得，此时点，，，共线．挖隧道时始终能看见，处的标志即可．
    ______．
    ______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    因式分解：．
    化简：．
18. 本小题分
    已知：如图，，求证：．

19. 本小题分
    如图，在的方格纸中，点，在格点上．请按要求画出格点线段线段的端点在格点上，并写出结论．
    在图中画一条线段垂直．
    在图中画一条线段平分．
     

20. 本小题分
    如图，，是以为直径的半圆上的两点，，连结，．
    求证：．
    若，，求阴影部分的面积．

21. 本小题分
    【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与比较来判断：
    衢州市年月日月日的两种平均气温统计表单位：

注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：．
已知年的从月日起首次连续五天大于或等于，而对应着，其中第一个大于或等于的是，则月日即为我市年的“入夏日”．
【新知应用】已知我市年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题：

求年的．
写出从哪天开始，图中的连续五天都大于或等于并判断今年的“入夏日”．
某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？我市年和年的入春时间分别是月日和月日

22. 本小题分
    金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用

23. 本小题分
    如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线某运动员次试跳的轨迹如图在着陆坡上设置点与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
    
    求线段的函数表达式写出的取值范围．
    当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
    在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图．
    猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
    当为多少时，运动员的成绩恰能达标精确到？参考数据：，
24. 本小题分
    如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
    求证：．
    若，．
    求菱形的面积．
    求的值．
    若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据绝对值的定义，，那么符合题意．
B.根据绝对值的定义，，那么不符合题意．
C.根据负整数指数幂，，那么不符合题意．
D.根据零指数幂，，那么不符合题意．
故选：．
根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂解决此题．
本题主要考查绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握绝对值、负整数指数幂、零指数幂是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
点在第三象限，
故选：．
根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定点位置．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
厂家应生产最多的型号为号．
故选：．
利用四个型号的数量所占百分比解答即可
本题考查了扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：线段，，
，即．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：．
根据三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边直接列式计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得，
故选：．
根据题意可得，，联立成二元一次方程组求解即可．
此题考查二元一次方程组的实际运用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
故选：．
先解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
化简，得，
故选：．
根据题意和图形，可以得到，，，，然后根据相似三角形的性质，可以得到与的函数关系式．
本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，，
，，，所以选项不符合题意；
，，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，，
为直角三角形，
与不全等，所以选项符合题意；
，，
∽，
：：，
，
，
，
而，
，
，所以选项不符合题意．
故选：．
根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；计算出，，而为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对选项进行判断；通过证明∽，利用相似比得到，然后利用可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为或，
故选：．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案是．
直接计算即可．
本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个除颜色外其它都相同的球，其中红球有个，
从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是，
故答案为：．
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，先根据切线的性质求出，再根据，即可解决问题．
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：长方体的长为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
故答案为：．
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，于点，

设，
则，，
，，
，
，
，，
，
，
的纵坐标为，
，
，
即，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作于点，于点，设，则，，根据平行线分线段成比例求出，，，，再根据面积公式即可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

16.【答案】  

【解析】解：；
连接，过点作，交的延长线与点．

由矩形性质得：，
，
点，，，共线，
，
又，
∽，
．
故答案为：；．
根据图中三条线段所标数据即可解答；
连接，过点作，交的延长线与点易得，，证明∽，即可解答．
本题重点考查矩形性质和相似三角形的判定和性质，解题关键是恰当作出辅助线．
 

17.【答案】解 ；
． 

【解析】应用因式分解运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；
运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的加减法及因式分解运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据邻补角的定义得出，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，线段即为所求答案不唯一；
如图中，线段即为所求答案不唯一．
 

【解析】利用数形结合的思想作出图形即可；
利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：，
，
又，
，
．
如图，连结，过点作，垂足为．
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
，．
． 

【解析】根据圆周角定理可得，，由已知条件可得，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
连结，过点作，垂足为由，可得，根据圆周角定理可得，即可得出，，即可算出的面积，在中，根据三角函数可算出的长度，即可算出的面积，根据代入计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 

21.【答案】解；
从月日开始，连续五天都大于或等于，我市年的“入夏日”为月日；
不正确．因为今年的入夏时间虽然比去年迟了天，但是今年的入春时间比去年迟了天，所以今年的春天应该比去年还短． 

【解析】根据算术平均数的定义解答即可；
根据统计图数据解答即可；
根据统计图数据解答即可．
本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算方法解答的关键．
 

22.【答案】解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：元，
即新能源车的每千米行驶费用为元；
燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 

【解析】根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
 

23.【答案】解：由图可知：，，
设：，
将，代入得：，解得，
线段的函数表达式为．
当时，，
由题意得，
解得舍去，．
的横坐标为．
，
成绩未达标．
猜想与成反比例函数关系．
设，
将代入得，解得，
．
将代入验证：，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
由在线段上，得，代入得，得．
由得，
又，
．
当时，运动员的成绩恰能达标． 

【解析】由图可知：，，利用待定系数法可得出结论；
当时，，联立，可得出点的横坐标，比较得出结论；
猜想与成反比例函数关系．将代入表达式，求出的值即可．将代入进行验证即可得出结论；
由在线段上，得，代入得，得由得，比较即可．
本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】证明：如图，四边形是菱形，
，，
，
≌，
，
，
．
解：如图，连结交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：如图，过点作，交于点，则为定值，
理由：连结交于点，交于点，
，
当的大小发生变化时，始终都有，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
为定值；
，
． 

【解析】由菱形的性质得，，可证明≌，得，而，所以；
连结交于点，交于点，由，，，根据勾股定理可求得，则，即可由求出菱形的面积；
先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，所以，再求出的值即可；
过点作，交于点，由可知，当的大小发生变化时，始终都有，由∽得，所以，同理可得，再证明∽，得，即可求得，说明为定值，再求出的值即可．
此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．