陕西省咸阳市武功县2022年初中学业水平模拟考试数学试卷(含答案)

武功县2022年初中学业水平模拟考试数学试题

第一部分（选择题  共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．的绝对值为（    ）

A．     B．     C．9     D．-9

2．下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A．   B．  

C．  D．

3．如图，已知直线，DE交AB于点E，在DE上取点F，连接BF，若，，则的度数为（    ）

A．20°     B．25°     C．30°     D．35°

4．下列计算正确的是（    ）

A．  B．  C．   D．

5．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，交BC于点P，连接OD，若，，则OD的长为（    ）

A．3     B．4     C．5     D．6

6．已知直线与直线关于y轴对称，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A．     B．1     C．     D．2

7．如图，AB为的直径，C、D为上两点，连接BC、CD、BD，若，且，则劣弧的长为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，则的值为（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

第二部分（非选择题  共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．写出一个大于-4且小于-3的无理数______．

10．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形每个外角的度数为______°．

11．《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设总共有x人，则可列方程为______．

12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与对角线OB交于点D，若正方形的边长为3，，则k的值为______．

13．如图，在四边形ABCD中，，，，，点O为AB的中点，点P为BC上一动点，在平面内沿OP将翻折得到，连接，则长度的最小值为______．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14．（本题满分5分）

计算：.

15．（本题满分5分）

化简：.

16．（本题满分5分）

解不等式组并求该不等式组的所有整数解的和．

17．（本题满分5分）

如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，请用尺规作图法在边BC上求作一点P，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（本题满分5分）

如图，点E为的边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，求证：.

19．（本题满分5分）

2022北京残奥会已于3月13日闭幕，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”赢得了广大网友的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物玩偶作为本次冬奥会的纪念品，已知购买1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元，求两种吉祥物玩偶的单价．

20．（本题满分5分）

“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项倡议，希望个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六（2022年为3月26日）20：30-21：30熄灯一小时，来唤醒人们对节约资源保护环境的意识．九年级（1）班准备组织同学们到离学校最近的A、B两个社区进行“地球一小时”宣传活动，报名参加的有笑笑、雯雯、阳阳和优优四名同学，班长将四名同学的名字分别写在四张完全相同的卡片正面，并将背面朝上洗匀后，随机抽取两张卡片，被抽取的两名同学去A社区进行宣传活动，未被抽取的两名同学去B社区进行宣传活动．

（1）“抽取的两张卡片恰好是笑笑和雯雯”是______事件；（填“随机”或“必然”或“不可能”）

（2）请用列表法或画树状图的方法，求抽取的两张卡片中有一张是阳阳的概率．

21．（本题满分6分）

3月12日，据联合国统计，俄乌冲突已导致上千平民伤亡，250万人离开乌克兰，此外，在俄乌冲突与对俄制裁的共同作用下，全球粮食供给、芯片制造、能源价格等均受到不同程度的影响．为了呼吁世界和平，某校举行了以“同护一片蓝天·共享一份和平”为话题的征文比赛，比赛成绩分别记为70分，80分、90分、100分，现随机抽取部分参赛学生的比赛成绩进行统计，并绘制成如下统计图，根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）此次比赛成绩的众数是______分，中位数是______分；

（2）计算此次比赛成绩的平均数；

（3）若参加此次征文比赛的共有100人，请你估计成绩为100分的约有多少人？

22．（本题满分7分）

秦椒，是辣椒中的佳品，素有“椒中之王”的美称，它具有颜色鲜红、辣味浓郁、体形纤长、肉厚油大、表面皱纹均匀等特点．是陕西一项大宗出口商品，畅销国际市场．某超市的秦椒标价为80元/千克．同时规定：如果一次性购买5千克以上，超过部分可以打8折．若在该超市一次性购买x（千克）秦椒，付款金额为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）宁宁妈妈在该超市一次性购买秦椒共花了720元，求宁宁妈妈购买了多少千克秦椒？

23．（本题满分7分）

千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高度．如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点D处，她手拿一支长0.5米的竹竿EF，边观察边移动竹竿（竹竿EF始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛D与竹竿、塔的顶端E、A共线，同时眼睛D与它们的底端F、B也恰好共线，此时测得，小丽的眼睛距竹竿的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度米，已知，．请你根据以上测量结果计算该塔的高度AB．

【参考数据：】

24．（本题满分8分）

如图，AB为的直径，C、D为上两点，连接OC、CD，CD交AB于点E，且，过点D作的切线DP交AB的延长线于点P．

（1）求证：；

（2）若的半径为3，，求CE的长．

25．（本题满分8分）

如图，抛物线经过、两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点E在AB下方的抛物线上，过点E作于点F，连接AE，是否存在点E，使得与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（本题满分10分）

【问题探究】

（1）如图1，点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，点E、F分别在边AB、BC上，连接OE、OF，，若正方形的边长为4，求四边形OEBF的面积．

【问题解决】

（2）如图2，菱形ABCD为李叔叔家承包的一块农田，李叔叔规划在菱形ABCD内找一点P，沿AP修建一条小路，沿PB、PD修建两条灌溉水渠，并在边BC、CD上分别取点E、F，在四边形PECF区域内种植经济作物来提高家庭收入．根据李叔叔的规划要求，，且两条灌溉水渠的长度PB与PD相等．已知菱形ABCD的边长为40米，，若设AP的长为x（米），四边形PECF的面积为y（平方米）．

①求y与x之间的函数关系式；

②当灌溉水渠的总长度最小时，求种植经济作物区域（四边形PECF）的面积．

答案

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．A   2．B   3．D   4．B   5．C   6．A   7．C   8．D

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（答案不唯一）  10．45  11．（其他形式正确也给分）  12．-4  13．8

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14．解：原式  （3分）

.  （5分）

15．解：原式  （2分）

  （3分）

.  （5分）

16．解：解不等式，得，  （1分）

解不等式，得，  （2分）

∴不等式组的解集为，  （3分）

∴该不等式组的所有整数解为2，3，4，5，  （4分）

∴该不等式组的所有整数解的和为.  （5分）

17．解：如图，点P即为所求．  （5分）

注：①答案中线条为实线或虚线均不扣分；②没有写出结论不扣分．

18．证明：∵点E为AD的中点，

∴．  （1分）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，∴．（2分）

在和中，，，，

∴，  （4分）

∴.  （5分）

19．解：设“冰墩墩”的单价为x元/件，“雪容融”的单价为y元/件，

由题意，得  （3分）

解得

答：“冰墩墩”的单价为55元/件，“雪容融”的单价为40元/件．  （5分）

注：没有写出答语不扣分．

20．解：（1）随机．  （2分）

（2）根据题意画树状图如下：

  （4分）

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片中有一张是阳阳的结果有6种，

∴抽取的两张卡片中有一张是阳阳的概率为.  （5分）

注：①在（2）中如果求出的概率正确，但没有列表格或画树状图扣2分；求出概率正确，若列表或画树状图后没有就结果作出说明不扣分；②在（2）中若运用枚举法直接列举出12种等可能结果，只要结果正确，不扣分．

21．解：（1）80；80．  （2分）

（2）（分），

∴此次比赛成绩的平均数为82分．  （4分）

（3）（人），

∴估计成绩为100分的约有10人．  （6分）

注：（2）、（3）中没有计算过程各扣1分，没有答语均不扣分，不带单位均不扣分．

22．解：（1）当时，；

当时，.

∴y与x之间的函数关系式为.  （4分）

（2）∵（元），，

∴宁宁妈妈购买的秦椒超过5千克．  （5分）

将代入，得，

∴宁宁妈妈购买了10千克秦椒．  （7分）

注：①没有单位，没有答语不扣分；②（1）中没有写成分段函数的形式不扣分．

23．解：过点D作于点G，交EF于点H，如图．

易得，，米．

∵米，，，，

∴，∴米，即米．  （3分）

∵，

∴，，

∴，  （5分）

∴，即，

解得米，

即该塔的高度AB为34米．  （7分）

注：算出，没有单位，没有答语不扣分．

24．（1）证明：连接OD，如图．

∵DP为的切线，

∴，即.

∵，∴.

∵，∴，

∴.  （3分）

又∵，

∴，

∴.  （4分）

（2）解：∵的半径为3，

∴.

设，则，.

在中，，  （6分）

∴，解得（舍），或，

∴，

∴.  （8分）

25．解：（1）∵抛物线经过、两点，

∴解得

∴抛物线的函数表达式为.  （2分）

（2）由（1）易得抛物线的对称轴为直线，∴．

又∵，∴，，.

∵、，∴轴，点F的纵坐标为-2．

∵于点F，∴，

∴当与相似时，与为一组对应角．

设，则，

∴，.  （4分）

①当时：

∵，∴，即，

解得（舍）或，∴；  （6分）

②当时：

∵，∴，即，

解得（舍）或，∴.

综上可知，存在点E，使得与相似，点E的坐标为或.  （8分）

注：（2）中不写答语不扣分．

26．解：（1）如图1，过点O作于点M，作于点N．

易得四边形OMBN是正方形，

∴，.

∵，

∴.

在和中，，，，

∴，  （2分）

∴，

∴.  （3分）

（2）①如图2，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∴.

在和中，，，，

∴，

∴，

∴点P在菱形ABCD的对角线AC上.  （4分）

如图2，过点P作于点M，作于点N，

∵在菱形ABCD中，，，

∴，和都是等边三角形，

∴，，

∵，，

∴，.

在和中，，，，

∴，

∴，易得.  （6分）

∵是等边三角形，

∴米，∴米，

∴米，

∴米，

∴，

∴，

即.  （8分）

②由①知，点P在菱形ABCD的对角线AC上，

∴当，即点P为AC的中点时，取得最小值，

∴此时米，即，

∴.

即当灌溉水渠的总长度最小时，种植经济作物区域（四边形PECF）的面积为平方米．  （10分）