初中华师大版3.列举所有机会均等的结果学案及答案

教学目标

1.掌握用列表法、画树状图法求简单事件概率的方法.

2.能通过比较概率大小做出合理决策，培养用所学知识解决实际问题的能力.

教学重难点

重点：运用列表法和画树状图法求事件的概率.

难点：运用画树状图法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题.

教学过程

复习巩固

概率：一个事件发生的可能性叫做该事件的概率.

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导入新课

【问题1】

老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？

(学生思考，教师引导) 试求下列事件的概率：

(1)两枚两面一样；

(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.

教师：想一想 “同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？

学生: 我发现一样.

(1) 两枚两面一样的情况有（正正）（反反）；

(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的情况有（正反）（反正）.

教师：随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.

学生讨论，教师总结

引出课题：25.2　随机事件的概率

3　列举所有机会均等的结果

探究新知

探究点　用树状图法求复杂随机事件的概率

活动1（学生互动，教师点评）

【问题2】抛掷一枚普通硬币3次.有人说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”的概率是一样的.你同意吗？

教师引导分析：对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2、3次抛掷也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等，因此可以画出树状图.

【探究】抛掷一枚普通硬币3次，共有多少种机会均等的结果？

学生列举出：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.

求出P(正正正) ＝，P(正正反) ＝ ，

所以P(正正正) ＝P(正正反).

【答案】同意问题2中的说法

【继续思考】（学生互动，教师点评）

 教师：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种结果：

（1）全是正面；（2）两正一反；（3）两反一正；（4）全是反面.

因此这四个事件出现的概率相等.你同意这种说法吗？为什么？

学生回答：三枚硬币落地后出现8种可能结果，其中全是正面1种，两正一反出现3种，两反一正出现3种，全是反面出现1种.

所以P（正正正）＝，P（两正一反）＝，P（两反一正）＝，

P（反反反）＝.

因此这四个事件出现的概率不全相等.所以不同意.

教师：每次抛掷，出现正面或反面的概率都相等，事件出现的可能性要写全，避免重复和遗漏，在参与中要独立思考，提高自己解决问题的能力.

【总结】（老师总结）

用树状图能从上到下，列举所有机会均等的结果，可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明.

活动2（学生互动，教师点评）

典例讲解（小组讨论，老师点评）

例1　“石头”“剪刀”“布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负.

假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？

（学生）【解】画出树状图如图所示.

所有机会均等的结果有9种，其中的3种——(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我们关注的结果，所以.

教师：试一试，请用列表法分析问题1，看看所得结论是否一致.

教师：想一想，什么时候用列表法方便，什么时候用树状图法方便？

学生：当一次试验涉及两个元素，且可能出现的结果较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法；

当一次试验涉及3个或3个以上的元素时，列表法就不方便了，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图法.

教师给予鼓励.

例2　经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同.三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

（1）三辆汽车继续直行；

（2）两辆车向右转，一辆车向左转；

（3）至少有两辆车向左转.         

【解】画树状图如图所示：

由树状图可知，一共有27种等可能的结果.

（1）∵三辆汽车继续直行的有1种，

 ∴三辆汽车继续直行的概率为.

（2）∵两辆车向右转，一辆车向左转的有3种，

∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为＝. 

（3）∵至少有两辆车向左转的有7种，

 ∴至少有两辆车向左转的概率为.

【题后总结】在一次试验中，如果可能出现的结果比较多，且各种结果出现的可能性相等，那么我们可以利用树状图或表格不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而求出某些事件发生的概率.

活动3：

【即学即练】（小组讨论，老师点评）

甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定两人分别抛掷一枚骰子，向上的点数之和为奇数，则甲获胜；向上的点数之和为偶数，则乙获胜.你认为这个游戏的规则公平吗？为什么？

解：列表如下：  

由表可知，一共有36种等可能结果，其中和为奇数的有18种，和为偶数的有18种，所以P(甲获胜)=＝ ，P(乙获胜)=＝，因为P(甲获胜)=P(乙获胜)，所以游戏公平.

【思考】利用树状图或表格的优点是什么？什么时候用树状图比较方便？什么时候用表格比较方便？

（学生总结，教师点评）

当试验包含两步时，列表和画树状图都可以，当试验包含三步或三步以上时，画树状图比较方便.

【总结】

1.列表法就是把要求的对象用表格一一表示出来分析求解的方法.当一次试验要涉及两个元素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表的方法.

2.当一次试验要涉及两个以上元素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图的方法.

课堂练习

1.如图，用飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是(    )

A. B. C. D.

2.三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是(    )

A. B. C. D.

3.用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数字的概率.

4.甲口袋中装有2个小球,1个红球、1个白球;乙口袋中装有3个小球,1个红球、1个 白球、1个黑球;丙口袋中装有2个小球,1个红球、1个黑球,这些小球除颜色外其余均相同.从3个口袋中各随机地取出1个小球.求下列事件的概率：

（1）取出的3个小球颜色均不同；

（2）取出的3个小球有两个颜色相同；

（3）取出的3个小球颜色全部相同.

参考答案

1.C　【解析】P(飞镖落在阴影部分)＝＝.

2.A　【解析】画树状图如图所示

共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，所以P(两张卡片上的数字恰好都小于3) ＝＝ .

3.【解】

由树状图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的可能性相等.

其中恰有2个数字相同的结果有18个.

∴ P(恰有两个数字相同)=＝.

4. 【解】画树状图如下，由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，它们出现的可能性相等.

（1）P（颜色均不相同）＝＝.

（2）P（有两个颜色相同）＝＝.

（3）P（颜色全部相同）＝.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

画树状图

1. 画树状图的步骤：

①关键要弄清楚每一步有几种结果；

②在树状图下面对应写着所有可能的结果；

③利用概率公式进行计算.

2.适用条件：

当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树状图法,当试验在三步或三步以上时,用树状图法方便.

3. 画树状图注意：

①弄清试验涉及试验元素个数或试验步骤分几步；

②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回”.

布置作业

教材第153页练习题1，2，3，第154页习题25.2第5~8题.

板书设计

课题　25.2　随机事件的概率

3　列举所有机会均等的结果

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

用列表法或树状图法求概率.

1. 画树状图的步骤

2.适用条件

3.画树状图注意

教学反思

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