湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-08解答题（基础题）1

这是一份湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-08解答题（基础题）1，共34页。试卷主要包含了+÷，﹣1，，其中a＝+1，b＝﹣1，其中x＝+1，2+20350等内容，欢迎下载使用。
湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-08解答题（基础题）1
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•益阳）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
2．（2022•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•郴州）先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．
4．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
5．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．
三．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•长沙）计算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

五．二元一次方程的应用（共1小题）
8．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　 　
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　 　
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　 　
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
六．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
七．一元一次不等式的应用（共2小题）
10．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
11．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
八．解一元一次不等式组（共3小题）
12．（2022•湘西州）解不等式组：．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　．
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 　 　．
13．（2022•长沙）解不等式组：．
14．（2022•永州）解关于x的不等式组：．
九．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
15．（2022•益阳）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．

一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
16．（2022•湘西州）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

一十一．全等三角形的判定（共1小题）
17．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

一十二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．

一十三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠　 　．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥　 　．（ 　 　）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．

一十四．菱形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．

一十五．矩形的性质（共1小题）
21．（2022•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．

一十六．切线的判定与性质（共1小题）
22．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．

一十七．扇形面积的计算（共1小题）
23．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

一十八．圆的综合题（共1小题）
24．（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当＝，∠DFE＝2∠CDB时，则﹣＝　 　；+＝　 　；+﹣＝　 　．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足＝+，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．

一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．

二十．特殊角的三角函数值（共1小题）
26．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
二十一．解直角三角形的应用（共1小题）
27．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


二十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
28．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


二十三．扇形统计图（共2小题）
29．（2022•湘西州）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
（1）本次调查共抽取学生多少人？
（2）表中a的值为 　 　，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 　 　．
（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
读书量
1本
2本
3本
4本
5本
人数
10人
25人
30人
a
15人

30．（2022•永州）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程
人数
A：剪纸

B：陶艺
20
C：厨艺
a
D：刺绣
20
E：养殖

请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝　 　．
（2）所抽取样本的样本容量是 　 　，频数统计表中a＝　 　．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．


湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-08解答题（基础题）1
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•益阳）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
【解答】解：原式＝1+（﹣3）+2
＝0．
2．（2022•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．
【解答】解：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1
＝1﹣2×+﹣1+3
＝1﹣+﹣1+3
＝3．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•郴州）先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．
【解答】解：÷（+）
＝÷
＝•
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）
＝5﹣1
＝4．
4．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
【解答】解：原式＝
＝•+
＝+
＝；
因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，
当a＝3时，原式＝．
5．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x﹣1，
当x＝+1时，
原式＝+1﹣1
＝．
三．负整数指数幂（共1小题）
6．（2022•长沙）计算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．
【解答】解：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350
＝4+3﹣2+1
＝6．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
五．二元一次方程的应用（共1小题）
8．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　√　
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　×　
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　×　
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【解答】解：（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条，
根据题意得：，
解得75＜x＜100，
∵x为奇数，
∴x可取77，79，81......99，共12个，
∴①正确，②③错误，
故答案为：√，×，×；
（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条，
根据题意得：，
解得，
答：“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
六．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，
依题意得：﹣＝0.4，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．
答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，
依题意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，
解得：y≤4．
答：最多安排甲收割4小时．
七．一元一次不等式的应用（共2小题）
10．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，
根据题意得：，
解得：．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
11．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，
依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，
解得：m≤6．
答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．
八．解一元一次不等式组（共3小题）
12．（2022•湘西州）解不等式组：．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≤3　．
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≥﹣2　．
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤3　．
【解答】解：．
（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3，
故答案为：（Ⅰ）x≤3；
（Ⅱ）x≥﹣2；
（Ⅲ）数轴表示见解答；
（Ⅳ）﹣2≤x≤3．

13．（2022•长沙）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
14．（2022•永州）解关于x的不等式组：．
【解答】解：
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞4．
九．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
15．（2022•益阳）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．

【解答】解：（1）令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
16．（2022•湘西州）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC•BC＝．
一十一．全等三角形的判定（共1小题）
17．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
一十二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
一十三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠　DBC　．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥　BF　．（ 　内错角相等，两直线平行　）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ 　两组对边分别平行的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）．

【解答】解：（1）作图如下：

DE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据），
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
一十四．菱形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB，∠DCA＝∠ACB＝∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB，
∵AE＝CF，
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF（SAS），
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形DEBF是菱形．
一十五．矩形的性质（共1小题）
21．（2022•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
一十六．切线的判定与性质（共1小题）
22．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图：

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即PE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，连接OD，如图：

∵DE⊥AC，
∴∠AEP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠PAE＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵⊙O的半径为6，
∴BC＝AB＝12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝CD＝BC＝6，
在Rt△CDE中，
CE＝CD•cosC＝6×cos60°＝3，
答：CE的长是3．
一十七．扇形面积的计算（共1小题）
23．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
一十八．圆的综合题（共1小题）
24．（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当＝，∠DFE＝2∠CDB时，则﹣＝　0　；+＝　1　；+﹣＝　0　．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足＝+，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．

【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE，
又∵∠DEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△DCE；
（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
∴AE•CE＝BE•DE，
∴﹣＝＝0，
∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB，
又∵∠DFE＝2∠CDB，
∴∠DFE＝∠DAB，
∴EF∥AB，
∴∠FEA＝∠EAB，
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴FA＝FE，
∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB，
∴＝，
∴＝＝＝＝1，
∵+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝0，
故答案为：0，1，0；
（3）解：①△ABE，△DCE都为等腰三角形，
理由：记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，
则S＝S1+S₂+S3+S4，
∵＝＝，
∴S1S2＝S3S4①，
∵，
即S＝S1+S2+2，
∴S3+S4＝2②，
由①②可得，
即（﹣）2＝0，
∴S3＝S4，
∴S△ABE+S△ADE＝S△ABE+S△EBC，
即S△ABD＝S△ADC，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB，
∴△ABE，△DCE都为等腰三角形；
②∵＝，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵∠DCA＝∠EBA，
∴△DAC∽△EAB，
∴＝，
∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，
∴EA•AC＝DA×AB＝mn，
∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠CDE＝∠CAD，
又∠ECD＝∠DCA，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，
∴EA•AC+CE•AC＝AC2＝mn+p2，
则AC＝，．EC＝＝，
∴AE＝AC﹣CE＝，
∴AE•CE＝．
一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接AC，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是的中点
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，
∴AE＝AB＝3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
又∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴，
即：，
解得：DE＝2，
∴AD＝AE﹣DE＝1．
二十．特殊角的三角函数值（共1小题）
26．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
【解答】解：原式＝
＝．
二十一．解直角三角形的应用（共1小题）
27．（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）


【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴＝；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m），
又∵，
即，
∴BC＝90m，
∴S△ABC＝×＝1800（m2）．


二十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
28．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；

（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．

二十三．扇形统计图（共2小题）
29．（2022•湘西州）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
（1）本次调查共抽取学生多少人？
（2）表中a的值为 　20　，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 　108°　．
（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
读书量
1本
2本
3本
4本
5本
人数
10人
25人
30人
a
15人

【解答】解：（1）抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人），
答：本次调查共抽取学生100人；
（2）a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20；
扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°，
故答案为：20；108°；
（3）3000×＝1950（人），
答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人．
30．（2022•永州）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程
人数
A：剪纸

B：陶艺
20
C：厨艺
a
D：刺绣
20
E：养殖

请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝　20　．
（2）所抽取样本的样本容量是 　200　，频数统计表中a＝　50　．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．

【解答】解：（1）m%＝1﹣35%﹣10%﹣25%﹣10%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：20；

（2）所抽取样本的样本容量是20÷10%＝200，
a＝200×25%＝50，
故答案为：200，50；

（3）2000×20%＝400（人），
答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的有400人．