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2023届高考物理一轮复习 第7讲 力的合成与分解 讲义（考点+经典例题）
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这是一份2023届高考物理一轮复习 第7讲 力的合成与分解 讲义（考点+经典例题），共6页。试卷主要包含了力的合成，力的分解，矢量和标量等内容，欢迎下载使用。
一、力的合成
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。如图1均为共点力。
2．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
二、力的分解
1.定义：求一个力的分力的过程。
力的分解是力的合成的逆运算。
2.遵循的原则：(1)平行四边形定则。 (2)三角形定则。
3.分解方法
(1)效果分解法。
(2)正交分解法。将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
如图，将结点O受力进行分解．
三、矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量，如速度、力等。
2.标量：只有大小没有方向，相加时按算术法则的物理量，如路程、速率等。
考点一 共点力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到：
F＝eq \r(Feq \\al(2,1)＋Feq \\al(2,2)＋2F1F2cs θ)
tan α＝eq \f(F2sin θ,F1＋F2cs θ)。
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．
③当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)．
3.几种特殊情况的共点力的合成
【典例1】 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
【典例2】 如图所示，一光滑的轻杆倾斜地固定在水平面上，倾角大小为30°，质量分别为m甲、m乙的小球甲、乙穿在光滑杆上，且用一质量可忽略不计的细线连接后跨过固定在天花板上的光滑定滑轮，当整个系统平衡时，连接乙球的细线与水平方向的夹角大小为60°，连接甲球的细线呈竖直状态。则m甲∶m乙为( )
A.1∶eq \r(3) B.1∶2
C.eq \r(3)∶1 D.eq \r(3)∶2
答案 A解析 分别对甲、乙受力分析如图所示，以甲球为研究对象，则甲球受到重力和绳的拉力的作用，直杆对甲球没有力的作用，否则甲球水平方向受力不能平衡，所以FT＝m甲g。 以乙球为研究对象，根据共点力平衡条件，结合图可知，绳的拉力FT与乙球受到的支持力FN与竖直方向之间的夹角都是30°，所以FT与FN大小相等，得m乙g＝2FTcs 30°＝eq \r(3)FT，综上可得m甲∶m乙＝1∶eq \r(3)，故A正确，B、C、D错误。
考点二 力的分解的两种常用方法
1.效果分解法
2.正交分解法
1.建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
2.方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Feq \\al(2,x)＋Feq \\al(2,y))
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx)。
【典例3】刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
答案 B解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 eq \f(d,F)＝eq \f(l,F1)＝eq \f(l,F2)，得推压木柴的力F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误．
【典例4】如图所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β应满足( )
A.tan α＝3ct β
B.2tan α＝3ct β
C.3tan α＝tan(α＋β)
D.3tan α＝2tan(α＋β)
答案 C解析 以大球和小球为整体受力分析如图甲，
有FTcs α＝3mg，
FTsin α＝FN1，
解得FN1＝3mgtan α
再以小球为研究对象，进行受力分析如图乙所示
FN2sin(α＋β)＝FN1，
FN2cs(α＋β)＝mg，
解得：FN1＝mgtan(α＋β)，
联立得：3tan α＝tan(α＋β)，选项C正确。
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示．
【典例5】(多选)如图所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C，重物系一绳经C固定在墙上的A点，滑轮与绳的质量及摩擦力均不计，若将绳一端从A点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则( )
A．绳的拉力增大
B．轻杆受到的压力减小，且杆与AB的夹角变大
C．绳的拉力大小不变
D．轻杆受的压力不变
答案 BC
解析 对C进行受力分析如图所示，根据力的平衡条件和对称性可知FAC＝FCD＝G.A点上移后绳上拉力大小不变，等于重物的重力，故A错误，C正确；A点上移后AC与CD的夹角变大，则合力变小，即轻杆受到的压力减小，方向沿杆方向并且沿∠ACD的角平分线，根据几何知识知∠BCD变大，即杆与AB的夹角变大，故B正确，D错误．
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝eq \r(Feq \\al(2,1)＋Feq \\al(2,2))
tan θ＝eq \f(F1,F2)
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
F′与F夹角为60°
一、力的合成
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。如图1均为共点力。
2．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
二、力的分解
1.定义：求一个力的分力的过程。
力的分解是力的合成的逆运算。
2.遵循的原则：(1)平行四边形定则。 (2)三角形定则。
3.分解方法
(1)效果分解法。
(2)正交分解法。将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
如图，将结点O受力进行分解．
三、矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量，如速度、力等。
2.标量：只有大小没有方向，相加时按算术法则的物理量，如路程、速率等。
考点一 共点力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到：
F＝eq \r(Feq \\al(2,1)＋Feq \\al(2,2)＋2F1F2cs θ)
tan α＝eq \f(F2sin θ,F1＋F2cs θ)。
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．
③当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)．
3.几种特殊情况的共点力的合成
【典例1】 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
【典例2】 如图所示，一光滑的轻杆倾斜地固定在水平面上，倾角大小为30°，质量分别为m甲、m乙的小球甲、乙穿在光滑杆上，且用一质量可忽略不计的细线连接后跨过固定在天花板上的光滑定滑轮，当整个系统平衡时，连接乙球的细线与水平方向的夹角大小为60°，连接甲球的细线呈竖直状态。则m甲∶m乙为( )
A.1∶eq \r(3) B.1∶2
C.eq \r(3)∶1 D.eq \r(3)∶2
答案 A解析 分别对甲、乙受力分析如图所示，以甲球为研究对象，则甲球受到重力和绳的拉力的作用，直杆对甲球没有力的作用，否则甲球水平方向受力不能平衡，所以FT＝m甲g。 以乙球为研究对象，根据共点力平衡条件，结合图可知，绳的拉力FT与乙球受到的支持力FN与竖直方向之间的夹角都是30°，所以FT与FN大小相等，得m乙g＝2FTcs 30°＝eq \r(3)FT，综上可得m甲∶m乙＝1∶eq \r(3)，故A正确，B、C、D错误。
考点二 力的分解的两种常用方法
1.效果分解法
2.正交分解法
1.建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
2.方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Feq \\al(2,x)＋Feq \\al(2,y))
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx)。
【典例3】刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
答案 B解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 eq \f(d,F)＝eq \f(l,F1)＝eq \f(l,F2)，得推压木柴的力F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误．
【典例4】如图所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β应满足( )
A.tan α＝3ct β
B.2tan α＝3ct β
C.3tan α＝tan(α＋β)
D.3tan α＝2tan(α＋β)
答案 C解析 以大球和小球为整体受力分析如图甲，
有FTcs α＝3mg，
FTsin α＝FN1，
解得FN1＝3mgtan α
再以小球为研究对象，进行受力分析如图乙所示
FN2sin(α＋β)＝FN1，
FN2cs(α＋β)＝mg，
解得：FN1＝mgtan(α＋β)，
联立得：3tan α＝tan(α＋β)，选项C正确。
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示．
【典例5】(多选)如图所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C，重物系一绳经C固定在墙上的A点，滑轮与绳的质量及摩擦力均不计，若将绳一端从A点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则( )
A．绳的拉力增大
B．轻杆受到的压力减小，且杆与AB的夹角变大
C．绳的拉力大小不变
D．轻杆受的压力不变
答案 BC
解析 对C进行受力分析如图所示，根据力的平衡条件和对称性可知FAC＝FCD＝G.A点上移后绳上拉力大小不变，等于重物的重力，故A错误，C正确；A点上移后AC与CD的夹角变大，则合力变小，即轻杆受到的压力减小，方向沿杆方向并且沿∠ACD的角平分线，根据几何知识知∠BCD变大，即杆与AB的夹角变大，故B正确，D错误．
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝eq \r(Feq \\al(2,1)＋Feq \\al(2,2))
tan θ＝eq \f(F1,F2)
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
F′与F夹角为60°
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