辽宁省沈阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

这是一份辽宁省沈阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题，共53页。试卷主要包含了﹣2+|﹣2|，﹣2，0+|2﹣|，，点P是抛物线的顶点，连接PC等内容，欢迎下载使用。
辽宁省沈阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•沈阳）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．
2．（2021•沈阳）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
3．（2020•沈阳）计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
四．一次函数综合题（共2小题）
6．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 　 　（用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为 　 　；
③当S＝时，m的值为 　 　．


7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　 　，点A的坐标是（ 　 　，　 　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　 　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

五．二次函数的应用（共1小题）
8．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 　 　平方厘米．

六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．


10．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

11．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为　 　；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为　 　．

七．三角形综合题（共1小题）
12．（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为　 　，AB的长为　 　；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为　 　（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为　 　．

八．菱形的性质（共1小题）
13．（2021•沈阳）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 　 　．

九．矩形的性质（共1小题）
14．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为　 　．

一十．切线的判定与性质（共3小题）
15．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 　 　．

16．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 　 　．

17．（2020•沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为　 　．

一十一．作图—基本作图（共1小题）
18．（2022•沈阳）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 　 　．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．

一十二．几何变换综合题（共3小题）
19．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 　 　；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 　 　；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．


20．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　 　，∠ABP＝　 　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

21．（2020•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为　 　．

一十三．条形统计图（共3小题）
22．（2022•沈阳）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 　 　名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
23．（2021•沈阳）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 　 　名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是 　 　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
24．（2020•沈阳）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　 　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
一十四．列表法与树状图法（共3小题）
25．（2022•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 　 　；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
26．（2021•沈阳）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 　 　．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
27．（2020•沈阳）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．

辽宁省沈阳市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•沈阳）计算：﹣3tan30°+（）﹣2+|﹣2|．
【解答】解：原式＝2﹣3×+4+2﹣
＝2﹣+4+2﹣
＝6．
2．（2021•沈阳）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
【解答】解：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2
＝1﹣3×+﹣1+4
＝1﹣+﹣1+4
＝4．
3．（2020•沈阳）计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
【解答】解：原式＝2×+9+1+2﹣
＝+12﹣
＝12．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•沈阳）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【解答】解：设增加了x行，则增加的列数为x列，
根据题意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，
整理，得：x2+14x﹣51＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），
答：增加了3行3列．
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，
则﹣＝2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米．
四．一次函数综合题（共2小题）
6．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 　m　（用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为 　m2　；
③当S＝时，m的值为 　或15﹣2　．


【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
法二、∵C′D′∥BO，
∴△CC′E∽△CBO，
∴＝（）2，即＝，
∴S＝m2．
故答案为：m2．
③法一、
分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m＜15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，
∴S△A′CM＝6﹣＝，
∵S△AOC＝18，
∵A′D′∥OA，
∴△A′CM∽△ACO，
∴＝，
∴CA′＝，
∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m＜15时，如图4，
∵A′D′∥x轴，
∴△A′BK∽△ABO，
∵S＝，S△ABO＝54，
∴＝，解得BA′＝2，
∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．




7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．
（1）填空：k＝　﹣3　，点A的坐标是（ 　5　，　0　）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当t＝1时，△CPQ的面积是 　12　．
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15＝6，
解得k＝﹣3，
即直线的解析式为y＝﹣3x+15，
当y＝0时，x＝5，
∴A（5.0），
故答案为：﹣3，5，0；
（2）∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y＝x上，
当y＝6时，x＝8，
即D（8，6），
∴CD＝8﹣3＝5，
∵OA＝5，
∴OA＝CD，
又∵OA∥CD，
∴四边形OADC是平行四边形；
（3）①作CH⊥OD于H，

∵H点在直线y＝x上，
∴设H点的坐标为（m，m），
∴CH2＝（m﹣3）2+（m﹣6）2，HD2＝（m﹣8）2+（m﹣6）2，
由勾股定理，得CH2+HD2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣6）2+（m﹣8）2+（m﹣6）2＝52，
整理得m＝或8（舍去），
∴CH＝3，
∵OD＝＝10，
∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8，
∴S△CPQ＝PQ•CH＝×8×3＝12，
故答案为：12；
②由（2）知四边形OADC是平行四边形，
∴OD与AC互相平分，
又∵P点和Q点的运动速度相同，
∴PQ与AC互相平分，
∴四边形CPAQ为平行四边形，
∵OD＝10，
当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，
当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC，
∵AC＝＝2，
当0≤t≤5时，10﹣2t＝2，
解得t＝5﹣，
当5≤t≤10时，2t﹣10＝2，
解得t＝5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5﹣或5+．
五．二次函数的应用（共1小题）
8．（2022•沈阳）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 　150　平方厘米．

【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x•＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x•，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．


【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为G（2，﹣4），
当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），
∴点C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），
把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为（s，s﹣3），
∵点C′（0，3），G′（2，4），
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，
∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q（s+2，s﹣2），
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：（不符合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．

10．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

【解答】解（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，

作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，
∴AB•|3﹣a|＝2，
∴×4•|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
②如图2，

设G（m，m﹣），
由AG2＝AQ2得，
（m+1）2+＝（2+1）2+12，
化简，得
5m2+2m﹣16＝0，
∴m1＝﹣2，m2＝，
∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），
作QH⊥AB于H，
∵AQ⊥QF，
∴△AHQ∽△QHM，
∴QH2＝AH•HM，
即：12＝3•HM，
∴HM＝，
∴M（，0），
设直线QM是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣3，b＝7，
∴y＝﹣3x+7，
由得，
x＝，y＝﹣
∴F（，﹣）
∴G1F＝＝，
G2F＝＝．
11．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为　等边三角形　；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为　（6，﹣2）　．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，

∵点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH＝OD＝，DH＝OH＝，
∴BH＝OB﹣OH＝，
∵tan∠HBD＝＝＝，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2＝×OB×DH＝×6×＝，且S1＝S2，
∴S1＝×＝3，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1＝MN2＝3，
∴MN＝2，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR＝，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR＝MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，﹣）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．

由题意BE＝BF＝6，FK∥OB，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH＝a，
在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（2+a）2+（a）2，
解得a＝或﹣2（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝2，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时E与K重合，BG⊥KF，
∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，﹣2）．
七．三角形综合题（共1小题）
12．（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为　4　，AB的长为　2　；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为　　（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为　16　．

【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA＝＝4，AB＝＝2．
故答案为4，2．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝﹣2x+12，
∴x＝，
∴N（，1）．

（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x＝，
∴N（，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN﹣PM＝﹣t＝．
故答案为．

（4）如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．

由题意S1•S2＝•m×4×（4﹣m）×4＝﹣4m2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
八．菱形的性质（共1小题）
13．（2021•沈阳）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝BC，DN＝DC．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）若AD＝4，则ME的长是 　　．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝BC，DN＝DC，
∴BM＝DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠DAN＝∠CEN，
∵∠AND＝∠CNE，
∴△AND∽△ENC，
∴＝，
∵DN＝DC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CE＝，
∵BM＝BC，
∴MC＝BC＝1，
∴ME＝MC+CE＝，
故答案为：．
九．矩形的性质（共1小题）
14．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为　　．

【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）如图所示，连接CE，

∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
一十．切线的判定与性质（共3小题）
15．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 　6　．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，
∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是圆O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，

∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝＝＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．

16．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是 　　．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°．
又∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
又∵∠ABC＝∠D，
∴∠CAD+∠BAC＝90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由（1）可得∠ABC+∠BAC＝90°＝∠D+∠DEA，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠BAC＝∠DEA，
∴CE＝CA＝CD＝5，
∴DE＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12，
∵∠ACB＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠D，
∴△ABC∽△EDA，
∴＝，
即＝，
解得，AD＝．
17．（2020•沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．
（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为　　．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴DC＝OD＝，
故答案为：．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
18．（2022•沈阳）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 　垂直平分线　．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．

【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；

（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，AE＝DE，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠BAD，
∴DF∥AB，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵FA＝FD，
∴四边形AEDF为菱形．

一十二．几何变换综合题（共3小题）
19．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 　AD＝BC　；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 　8+3　；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．


【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：
如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC；
（2）AD＝BC仍然成立.
证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，
即∠BOC＝∠AOD，
在△AOD和△BOC中，
，°
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，
∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，
∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，
∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，
∴△ABC∽△TBD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝3，
∵AT＝AB＝8，DT＝3，
∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，
∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，
故答案为：8+3；
②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，
∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，
∴△BAC∽△BTD，
∴＝＝，
∴DT＝AC＝×3＝，
在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，
∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，
∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，
∵TH⊥AD，
∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，
在Rt△DTH中，DH＝＝＝，
∴AD＝AH+DH＝2+；
如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，
则＝＝cos30°＝，
∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝＝，
∴DE＝AC＝×3＝，
∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AD＝＝＝；
综上所述，AD的值为2+或．





20．（2021•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　180°﹣2α　，∠ABP＝　α　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．

【解答】（1）解：如图1中，

∵CE＝CD，
∴∠D＝∠E＝α，
∴∠ECD＝180°﹣2α，
∴∠ECB＝∠E+∠D＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠D＝α，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBD＝α，
故答案为：180°﹣2α，α．

（2）证明：如图2中，连接BD．

∵CB＝CD，PB＝PD，
∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，
∴∠PBC＝∠PDC＝α，
∵∠ACB+∠ECD＝180°，2∠D+∠ECD＝180°，
∴∠ACB＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2α，
∴∠ABP＝∠PBC＝α，
∴PB平分∠ABC．

（3）解：如图3﹣1中，设BP交AC于J．

∵BP⊥PD，BP＝PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB＝CD，PB＝PD，
∴PG垂直平分线段BD，
∴BG＝DG，
∵PM＝MD，
∴GM＝PB，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，△ACB是等边三角形，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝30°，
∴∠PBC＝∠PDC＝30°，
∴∠BJC＝90°，
∴CJ＝BC＝，BJ＝CJ＝，
∵∠CPD＝∠CPJ＝45°，
∴PJ＝JC＝，
∴PB＝BJ+PJ＝+2，
∴GM＝．

如图3﹣2中，设PC交BC于K，当BP⊥DE时，同法可证GM＝PB．

∵∠PBC＝30°，∠GPB＝∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠PCB＝∠PCD＝15°，
∴∠KCE＝120°﹣15°﹣15°＝90°，
∵∠E＝30°，CE＝CB＝+1，
∴CK＝＝1+，
∴KB＝BC﹣CK＝，
∴PB＝BK•cos30°＝×＝1，
∴GM＝PB＝，
综上所述，GM的长为或．
21．（2020•沈阳）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为　或　．

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．

②解：如图1中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．

（2）解：结论：CD＝PA．
理由：如图2中，

∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD＝2BP•cos30°＝BP，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴＝＝，
∴CD＝PA．

（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．
如图3﹣1中，当△PBA是钝角三角形时，

在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°，
∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3，
∵PN＝＝＝2，
∴PA＝3﹣2＝1，
由（2）可知，CD＝PA＝，
∵∠BPA＝∠BDC，
∴∠DCA＝∠PBD＝30°，
∵DM⊥PC，
∴DM＝CD＝
如图3﹣2中，当△ABP是锐角三角形时，同法可得PA＝2+3＝5，CD＝5，DM＝CD＝，

综上所述，满足条件的DM的值为或．
故答案为或．
一十三．条形统计图（共3小题）
22．（2022•沈阳）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 　120　名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），
故答案为：120；
（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），
补全的条形统计图如图所示；

（3）360°×＝72°，
即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；
（4）800×＝320（名），
答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
23．（2021•沈阳）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了 　80　名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是 　36　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【解答】解：（1）32÷40%＝80（名），
故答案为：80；
（2）B等级的学生为：80×20%＝16（名），
补全条形图如下，

（3）D等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝36°；
（4）2000×＝600（名），
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级．
24．（2020•沈阳）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝　100　，n＝　60　；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为　108　度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案为：100，60；
（2）可回收物有：100﹣30﹣2﹣8＝60（吨），
补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．

一十四．列表法与树状图法（共3小题）
25．（2022•沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 　　；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【解答】解：（1）由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，
∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为．
26．（2021•沈阳）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 　　．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为＝．
27．（2020•沈阳）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，
所以抽出的两名学生性别相同的概率＝＝．