辽宁省丹东市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

这是一份辽宁省丹东市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题，共56页。试卷主要包含了先化简，再求值，÷，其中x＝cs60°+6﹣1等内容，欢迎下载使用。
辽宁省丹东市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．
2．（2021•丹东）先化简，再求代数式的值：++，其中a＝2sin30°+2（π﹣1）0．
3．（2020•丹东）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
二．分式方程的应用（共3小题）
4．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
5．（2021•丹东）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
6．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？
三．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
8．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
9．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

11．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
12．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．

五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

六．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC的面积为S2，△MEN的面积为S3．

（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
②求证：S3＝S1+S2．
（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．
15．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．

七．直线与圆的位置关系（共1小题）
16．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

九．作图-位似变换（共1小题）
18．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．

一十．相似形综合题（共1小题）
19．（2022•丹东）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．


一十一．解直角三角形（共1小题）
20．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
21．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．
（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
22．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

23．（2020•丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）

一十四．条形统计图（共2小题）
24．（2021•丹东）某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）求这次抽样调查的学生有多少人？
（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．
25．（2020•丹东）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
学习方式
老师直播教学课程
国家教育云平台教学课程
电视台播放教学课程
第三方网上课程
其他

根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有　 　人，其中选择B类型的有　 　人．
（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？
一十五．列表法与树状图法（共2小题）
26．（2022•丹东）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：h）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）这次抽样调查共抽取 　 　人，条形统计图中的m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
27．（2020•丹东）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是　 　．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
一十六．游戏公平性（共1小题）
28．（2021•丹东）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

辽宁省丹东市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
当x＝sin45°＝时，
原式＝．
2．（2021•丹东）先化简，再求代数式的值：++，其中a＝2sin30°+2（π﹣1）0．
【解答】解：++
＝
＝+﹣
＝
＝，
当a＝2sin30°+2（π﹣1）0＝2×+2×1＝1+2＝3时，原式＝＝﹣．
3．（2020•丹东）先化简，再求代数式的值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+6﹣1．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝3x+10，
当x＝cos60°+6﹣1＝+＝时，
原式＝3×+10＝12．
二．分式方程的应用（共3小题）
4．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
【解答】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，
根据题意，得＝．
解得x＝120．
经检验x＝120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．
5．（2021•丹东）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【解答】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得：，
解得：x＝80．
经检验x＝80是所列方程的根，
所以80﹣20＝60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
6．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？
【解答】解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是（x﹣150）人，依题意有
×1.5＝，
解得x＝450，
经检验，x＝450是原方程的解．
故八年级捐书人数是450人．
三．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
8．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
9．（2020•丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件）
60
65
70
销售量y（件）
1400
1300
1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
四．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，

∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，

则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
11．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，
∴﹣4＝2×（﹣5）+m，
解得：m＝6，
∴C（0，6），
将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），
∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；
（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，
∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，
∴∠BCA＝∠ECA，
如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，

∴F（﹣11，4），
∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，
∴△FAC≌△BAC（SAS），
∴∠BCA＝∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，
解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，

∵AB＝5，BC＝，
∴sin∠BCA＝，
∴MN＝，又CO＝6，
∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，
当F、N、M三点共线时，t最小，
∵AC＝10，BC＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴FM'＝，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD＝，
∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，
由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，）．
12．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y＝﹣x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（﹣，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．

（2）令y＝0，则有﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y＝﹣x+m，得到m＝2，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
由，解得或，
∴D（﹣1，）．

（3）设P（a，﹣a2+a+4），
则N（a，），F（a，﹣a+2），
∴PN＝﹣a2+a+4﹣＝﹣a2+a+，NF＝﹣（﹣a+2）＝a+，
∵N是线段PF的三等分点，
∴PN＝2NF或NF＝2PN，
∴﹣a2+a+＝a+1或a+＝﹣a2+2a+3，
解得a＝±1或﹣1或，
∵a＞﹣1，
∴a＝1或，
∴P（1，）或（，）．

（4）如图2中，

∵A（﹣2，0），D（﹣1，），
∴直线AD的解析式为y＝x+5，
∵A′Q′与AQ关于MG对称，MG⊥AD，
∴QQ′∥AD，
∵Q（﹣，0），
∴直线QQ′的解析式为y＝x+2，设直线QQ′交抛物线于E，
由，解得或，
∴E（1，），
当点A′与D重合时，
∵A（﹣1，0），D（﹣1，），
∴G（﹣，），
∵直线AD的解析式为y＝x+5，GM⊥AD，
设GM的解析式为y＝﹣x+b，把G（﹣，）代入得到，b＝，
∴直线GM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴AM＝2+＝．
∴5t＝．
∴t＝，
当点Q′与E重合时，直线GM经过点（，），
∵GM⊥AD，
∴GM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，可得x＝，
∴M（，0），此时t＝＝，
观察图象可知，满足条件的t的值为≤t≤．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
13．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△AEO和△DCO中，
，
∴△AEO≌△DCO（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：四边形ACDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴四边形ACDE是菱形．
六．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC的面积为S2，△MEN的面积为S3．

（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
②求证：S3＝S1+S2．
（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．
【解答】解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，
AB＝CB，BF＝BG，∠FAM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，
∴AB﹣BF＝CB﹣BG，
即AF＝CG，
∴△AFM≌△CGN（ASA）
②证法1：如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
由①知△AFM≌△CGN，
∴AM＝CN，
∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，
∵∠MBN＝45°＝∠ABD，
∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，
∴∠FBM＝∠OBN，
∵∠BFM＝∠BON＝90°，
∴△FBM≌△OBN（AAS），
∴FM＝ON，
∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠FAM＝∠OEN＝45°，
∴△AFM≌△EON（AAS），
同理△CGN≌△EOM（AAS），
∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，
∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，
∴S3＝S1+S2．
证法2：如图1′，将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAN′，连接N′F，
则BN′＝BN，AN′＝CN，∠BAN′＝∠BCN＝45°，∠BFN′＝∠BGN＝90°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFN′+∠BFE＝180°，即M、F、N′在同一条直线上，
∵∠MBN＝4°，
∴∠CBN+∠ABM＝45°，
∴∠ABN′+∠ABM＝45°＝∠MBN，即∠MBN′＝∠MBN，
在△BMN′和△BMN中，
，
∴△BMN′≌△BMN（SAS），
∴MN′＝MN，
∵∠MAN′＝∠BAN′+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AM2+AN′2＝MN′2，即AM2+CN2＝MN2，
∵△AMF和△CGN都是等腰直角三角形，
∴∠AMF＝∠CNG＝45°，
∴∠EMN＝∠AMF＝∠ENM＝∠CNG＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴S1＝AM2，S2＝CN2，S3＝MN2，
∴S1+S2＝AM2+CN2＝（AM2+CN2）＝MN2，
∴S3＝S1+S2．
（2）S3＝S1+S2，理由如下：
证法1：如图2，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，
∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，
∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，
∴△FBM∽△OBN，
∴，
同理△BOM∽△BGN，
∴，
∴，
∴OB2＝BF⋅BG，
∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，′
∴S矩形EFBG＝S△ABC，
∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，
∴S3＝S1+S2．
证法2：如图2′，将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAN′，连接N′M，
则BN′＝BN，AN′＝CN，∠BAN′＝∠BCN＝45°，
与（1）②同理可得：△BMN′≌△BMN（SAS），
∴MN′＝MN，
∵∠MAN′＝∠BAN′+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AM2+AN′2＝MN′2，即AM2+CN2＝MN2，
∵△AMF和△CGN都是等腰直角三角形，
∴∠AMF＝∠CNG＝45°，
∴∠EMN＝∠AMF＝∠ENM＝∠CNG＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴S1＝AM2，S2＝CN2，S3＝MN2，
∴S1+S2＝AM2+CN2＝（AM2+CN2）＝MN2，
∴S3＝S1+S2．
证法3：如图2″，作△BMN的外接圆⊙O，则OM＝ON＝OB，
∵∠MBN＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°，
延长MO交BC于H，
设AF＝b，CG＝a，则BH＝b，OH＝a，
∴a2+b2＝OB2＝ON2，
∴S3＝S1+S2．
（3）解法1：根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，
∴，
即，
∴BF＝＝＝，
∴，
∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．
解法2：∵BG：GC＝m：n（m＞n），
∴设BG＝m，GC＝n，
∴AB＝BC＝m+n，
设AF＝x，则BF＝m+n﹣x，
∵△AMF、△CGN和△EMN都是等腰直角三角形，
∴AM＝AF＝x，CN＝n，MN＝（m﹣x），
∵AM2+CN2＝MN2，
∴（x）2+（n）2＝[（m﹣x）]2，
化简整理，得：x＝，即AF＝，
∴BF＝m+n﹣＝，
∴＝：＝×＝．
解法3：如图3，设BG＝m，CG＝n，AF＝x，
则OB＝，ON＝m﹣x，
∴＝m﹣x，
∴x＝，
∴BF＝m+n﹣x＝，
∴AF：BF＝：＝×＝．






15．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．

【解答】（1）证明：如图1中，

在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△ABB′（SAS），
∴DD′＝BB′．

（2）①解：如图2中，结论：CA′＝BM，∠BPC＝45°．

理由：设AC交BP于O．
∵菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′＝AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴＝＝，∠A′CA＝∠ABM，
∴CA′＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°．

②解：如图3中，设AC交BP于O．

在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝AB，
∴＝＝，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴＝＝，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°．

③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H．

由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝AB＝2，
在Rt△A′AH中，AH＝AA′＝1，A′H＝AH＝，
在Rt△AHC中，CH＝＝＝，
∴A′C＝A′H+CH＝+或A′C＝﹣
由②可知，A′C＝BM，
∴BM＝1+或﹣1．
七．直线与圆的位置关系（共1小题）
16．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．
（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴tan∠FBC＝tan∠DBF＝＝，
∵DF＝2，
∴BD＝6，
设AB＝AF＝x，
∴AD＝x﹣2，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
解得：x＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，

∵点D是的中点，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BC、AD交于点N，

∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，
∴，
∴DN＝，
∵点D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
又∵∠BDN＝∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴，即：，
∴BD＝2，
∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，
∴DM＝BD＝2．
九．作图-位似变换（共1小题）
18．（2020•丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．

【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：

由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．
一十．相似形综合题（共1小题）
19．（2022•丹东）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．


【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵＝＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，

作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得：，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝＝＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN∥BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴＝（）2＝，
∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．
一十一．解直角三角形（共1小题）
20．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝3，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
21．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．
（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）

【解答】解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，
设BM＝x米，则MC＝BM＝x米
∵BH＝BM﹣HM
∴BH＝（x﹣50）米，
∴在Rt△ABH中，
∵HC＝HM+MC
∴HC＝（50+x）米，
在Rt△AHC中，，
∴，
解得x＝110，
即BM＝110米，
答：点B到水面距离BM的高度约为110米．

一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
22．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

由题意得：
EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD＝∠ADC＝53°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，
∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），
∴AE＝AF+EF＝64（海里），
在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．

23．（2020•丹东）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）
（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15）

【解答】解：设B处距离码头O有xkm，
在Rt△CAO中，∠CAO＝26.5°，
∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO•tan∠CAO＝（28×0.2+x）•tan26.5°≈2.8+0.5x（km），
在Rt△DBO中，∠DBO＝49°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan49°≈1.15x（km），
∵DC＝DO﹣CO，
∴6.4＝1.15x﹣（2.8+0.5x），
∴x≈14.2（km）．
因此，B处距离码头O大约14.2km．

一十四．条形统计图（共2小题）
24．（2021•丹东）某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）求这次抽样调查的学生有多少人？
（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．
【解答】解：（1）由统计图可知，36÷30%＝120（名），
答：这次抽样调查的学生有120人；
（2）360°×＝126°，120×20%＝24（名），
答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：

（3）800×＝280（名），
答：估计喜欢B的人数为280名．
25．（2020•丹东）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
学习方式
老师直播教学课程
国家教育云平台教学课程
电视台播放教学课程
第三方网上课程
其他

根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有　400　人，其中选择B类型的有　40　人．
（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？
【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有：240÷60%＝400（人），
其中选择B类型的有：400×10%＝40（人）；
故答案为：400，40；
（2）在扇形统计图中，D所对应的圆心角度数为：
360°×（1﹣60%﹣10%﹣20%﹣6%）＝14.4°，
∵400×20%＝80（人），
∴选择C种学习方式的有80人．
∴补全的条形统计图如下：

（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有：
1250×（60%+10%+20%）＝1125（人）．
答：选择A、B、C三种学习方式大约共有1125人．
一十五．列表法与树状图法（共2小题）
26．（2022•丹东）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：h）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）这次抽样调查共抽取 　100　人，条形统计图中的m＝　42　；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%＝100（人），
m＝100×42%＝42，
故答案为：100，42；

（2）B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%＝72°；
B组的人数有：100×20%＝20（人），
补全统计图如下：


（3）根据题意得：
960×（42%+28%）＝672（人），
答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为＝．
27．（2020•丹东）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是　　．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，
其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，
则P（小球上写的数字不大于3）＝；
故答案为：；
（2）列表得：

1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，
则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）＝＝．
一十六．游戏公平性（共1小题）
28．（2021•丹东）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）所有可能性如下表：
甲
乙
红1
红2
白1
白2
红1

（红，红）
（白，红）
（白，红）
红2
（红，红）

（白，红）
（白，红）
白1
（红，白）
（红，白）

（白，白）
白2
（红，白）
（红，白）
（白，白）

总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
∴甲获胜概率＝，乙获胜概率＝
∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．