初中数学第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积精品课后练习题

专题24.4 弧长和扇形面积

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·湖州市吴兴区城南实验学校月考）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（   ）

A．π B．2π C．3π D．4π

【答案】A

【解析】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，

∴，

故选：A．

2．（2020·全国初三课时练习）有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（　　）

A．90° B．120° C．180° D．135°

【答案】C

【解析】解：由题意得，2π＝，

解得：n＝180．

即这条弧所对的圆心角的度数是180°．

故选C．

3．（2020·山东德州·初三二模）如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，

，．

，

．

故选B．

4．（2019·全国专题练习）两个半径相等的扇形，其中一个扇形的弧长是另一个扇形弧长的，那么两个扇形中大的面积是小的面积的（    ）

A．4倍 B．倍 C．16倍 D．倍

【答案】A

【解析】设大扇形的圆心角为，小扇形的圆心角为，他们的半径都为r，

根据题意可知，

所以，

则两个扇形的面积比，

所以两个扇形中大的面积是小的面积的4倍，

故选：A．

5．（2020·全国课时练习）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，

连接OA、OB，

∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴的长为 .

故选C．

6．（2020·四川广安二中初三期末）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　）

A．3 cm B．2cm C．6cm D．12cm

【答案】A

【解析】AB＝cm，

∴

∴圆锥的底面圆的半径＝÷（2π）＝3cm．

故选A．

7．（2019·乐清市英华学校月考）如图，在中，，分别以为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）cm2．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：如图，

∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

，△ABC的面积是：，

，

故阴影部分的面积是：，

故选A.

8．（2020·广东荔湾·期末）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5

【答案】C

解：扇形的弧长是：＝，

圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，

∴＝2，

即：R＝4，

故选C．

9．（2020·全国初三课时练习）如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】∵∠A＝90°，AB＝AD，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠ABD＝45°，BD＝AB，

∵∠ABC＝105°，

∴∠CBD＝60°，

而CB＝CD，

∴△CBD为等边三角形，

∴BC＝BD＝AB，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．

故选D．

10．（2020·广西田林·初三一模）如图，⊙O的半径是4cm，四边形ABCD是平行四边形，D是的中点，则阴影部分的面积是（      ）cm2

A．4π－16 B．4π－8 C．π－8 D．8π－8

【答案】B

【解析】解：连接OD，

∵D是弧AB的中点
∴∠DOA=∠DOB=90°，
∵OA=OD=4，
∴△OAD的面积为OA•OD=8，
扇形OAD的面积为：，
∴阴影部分面积为：．
故选：B．

11．（2020·内蒙古初三二模）将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开 若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为的扇形，则     

A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm

C．圆锥形冰淇淋纸套的高为 D．圆锥形冰淇淋纸套的高为

【答案】C

【解析】解：解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）

设圆锥的底面半径是r（cm）

则：2πr=8π，解得：r=4

即个圆淋的底面半径是4cm；

圆锥形冰淇淋纸套的高为（cm）．

故答案为C．

12．（2020·全国初三课时练习）已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：

，则，

则，

旋转的长度是：，

移动的距离是：，

则圆心所经过的路线长是：．

故选：．

13．（2020·四川苍溪·初三期末）如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（　　）

A．3m B．m C．m D．4m

【答案】C

【解析】如图，由题意得：AP=3，AB=6， 

∴在圆锥侧面展开图中

故小猫经过的最短距离是

故选C.

14．（2020·运城市景胜中学月考）如图，两个三角形纸板△ABC，△MNP能完全重合，∠A=∠M=50°，∠ABC=∠N=60°， BC=4，将△MNP 绕点C（P）从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边MN，MP分别与BC，AB交于点H，Q（点Q 不与点A，B 重合），点O是△BCQ 的内心，若 ∠BOC=130°，点N 运动的路径为NB，则图中阴影部分的面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设旋转角为α，则∠BCN=∠ACM=α，

∵∠A=∠M=50°，∠ABC=∠MNP=60°，

∴∠ACB=∠MPN=70°，

∴∠BCM=70°－α，

∵点O是△BCQ的内心，

∴∠BCO=∠BCM=35°－α，∠CBO=∠ABC=30°，

∵∠BOC=130°，

∴35°－α+30°+130°=180°，

解得α=30°，

∴∠BCN=30°，

∵∠MNP=60°，

∴∠CHN=90°，

∴NH=CN=×4=2，，

∴，

∴．

故选：D．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2020·全国课时练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm，则扇形的半径是____．

【答案】24.

【解析】根据扇形面积公式S=LR,得到:代入得R=24.

16．（2019·全国单元测试）如图：⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得五边形ABCDE，已知五边形的内角和为540度，则_____________ （结果保留）．

【答案】

【解析】解：由题意得：

；

故答案为．

17．（2020·黔西南州勤智学校三模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为_____．

【答案】6

【解析】解：根据题意得，

解得l＝6，

即该圆锥母线l的长为6．

故答案为：6．

18．（2020·江苏建湖·汇文实验初中月考）如图，一张半径为2的圆型纸片在边长为a（a≥6）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆型纸片“不能接触到的部分”的面积是_________．

【答案】16-4

【解析】解：小正方形的面积是：2×2=4
当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形，它的面积是：π×22÷4=π则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：（4-π）×4=16-4π．

故答案为：16-4π．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2019·全国单元测试）如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地，求这头羊能吃到草的草地面积是多少？（结果精确到0.01平方米）

【答案】约为41.61平方米

【解析】解：如图为这头羊能吃到草的草地：

，

面积为：，

，

，

，

（平方米），

答：这头羊能吃到草的草地面积约为41.61平方米．

20．（2020·全国初三课时练习）在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．

嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，

的长为．

请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．

【答案】嘉琪的解法不正确，见解析

【解析】解：嘉琪的解法不正确，理由如下：

如图，连接，，

所对的圆周角为，

，

，

是等边三角形，

，

的长为：．

21．（2020·江苏建湖·汇文实验初中月考）如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）

【答案】（1）证明见解析  （2）

【解析】（1）连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OE，OE交AD于K．

∵，∴OE⊥AD．

∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE22．

22．（2020·全国课时练习）在中，已知．

如果把绕直线旋转一周得到一个圆锥，其全面积为；把绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为，求的值．

安安的解法如下：

．

∴绕直线旋转一周得到的圆锥的全面积，绕直线旋转一周得到的第二个圆锥的全面积．

请问安安的解法正确吗？如果不正确，请说明理由．

【答案】安安的解法不正确．理由见解析

【解析】解：安安的解法不正确．理由如下：

，，

∴绕直线旋转一周得到的圆锥的侧面积为，底面积为，全面积．绕直线旋转一周得到的第二个圆锥的侧面积为，底面积为，全面积．

．

23．（2020·全国单元测试）如图所示，，．

（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；

（2）若的长度未知，已知阴影甲的面积为16平方厘米，能否求阴影乙的面积？若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由．

【答案】（1）半圆面积为157，扇形的面积为157；（2）能，16平方厘米．

【解析】（1）因为OB＝20，

所以S半圆＝×（20÷2）2，

＝×100，

≈157；

S扇形BOC＝××R2，

＝××202，

≈157；

答：半圆面积是157，扇形COB的面积是157．

（2）能求阴影乙的面积：

因为，∠AOB＝90°，∠COB＝45°，

所以半圆的直径OB，△BOD的底是OB，

高是半圆的半径即OB，

所以S半圆＝×OB×OB，

＝OB2；

S扇形BOC＝××OB2，

＝××OB2；

＝OB2；

所以S半圆＝S扇形BOC，

S半圆−①＝S扇形−①，

所以S甲＝S乙，

因为S甲＝16平方厘米，

所以S乙＝16平方厘米，

答：阴影乙的面积是16平方厘米．

24．（2020·全国单元测试）等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形．

（1）求所得的图形的周长；（结果保留）

（2）照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留）

【答案】（1）厘米；（2）平方厘米，厘米．

【解析】（1）由已知得：扇形ADC的半径长为1，圆心角为120°；扇形DBE半径长为2，圆心角为120°；扇形ECF半径长为3，圆心角为120°．

故据弧长公式可得：扇形ADC弧长；扇形DBE弧长；扇形ECF弧长；

故图形CDEFC的周长为：．

（2）根据扇形面积公式可得：

第一个扇形的面积为，由上一问可知其弧长为；

第二个扇形的面积为，弧长为；

第三个扇形的面积为，弧长为；

总结规律可得第个扇形面积为，第个扇形弧长为．

故画至第十个图形所围成的图形面积和为：；

所有的弧长和为：．

25．（2020·河北中考真题）如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．

（1）①求证：；

②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．

（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．

【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．

【解析】（1）①在△AOE和△POC中，

∴△AOE≌△POC；

②∠2=∠C+∠1，理由如下：

由（1）得△AOE≌△POC，

∴∠1=∠OPC，

根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，

∴∠2=∠C+∠1；

（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，

∴当最大时，可知此时与小半圆相切，

由此可得CP⊥OP，

又∵，

∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，

∴∠EOD=180°-∠POC=120°，

∴S扇EOD==．

26．（2020·江苏盐城·初三二模）已知△ABC是边长为的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

（1）如图a，当θ=20°时，判断△ABD与△ACE是否全等？并说明理由；

（2）当△ABC旋转到如图b所在位置时（60°＜θ＜120°），求∠BOE的度数；

（3）在θ从60°到120°的旋转过程中，点O运动的轨迹长为    ．

【答案】(1)全等，理由见解析；（2）120°；（3）．

【解析】解：（1）结论：△ABD≌△ACE．

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形．

∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，

在△ABD与△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE．

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ．

∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ADB＝∠AEC．

∵∠ADB＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∴∠AEC＋∠ABO＋∠BAD＝180°．

∵∠ABO＋∠AEC＋∠BAE＋∠BOE＝360°，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，

∴∠DAE＋∠BOE＝180°．

又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°．

（3）如图b中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ODJ=∠AEJ，
∵∠AJE=∠OJD，
∴∠EAJ=∠JOD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°．
∴当θ从60°到120°的旋转过程中，运动的轨迹为=，
故答案为：．