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    2022年山东省临沂市中考考前最后一卷数学试卷含解析
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    2022年山东省临沂市中考考前最后一卷数学试卷含解析

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    这是一份2022年山东省临沂市中考考前最后一卷数学试卷含解析,共21页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022中考数学模拟试卷
    考生须知:
    1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
    2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
    3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1.如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的,它的主视图是(  )

    A. B. C. D.
    2.某同学将自己7次体育测试成绩(单位:分)绘制成折线统计图,则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是(  )

    A.50和48 B.50和47 C.48和48 D.48和43
    3.-5的相反数是( )
    A.5 B. C. D.
    4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为(  )

    A.4.25分钟 B.4.00分钟 C.3.75分钟 D.3.50分钟
    5.如图,平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O直径BE上,连结AE,若∠E=36°,则∠ADC的度数是( )

    A.44° B.53° C.72° D.54°
    6.某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位:分)依次为20,18,23,17,20,20,18,则这组数据的众数与中位数分别是(  )
    A.18分,17分 B.20分,17分 C.20分,19分 D.20分,20分
    7.下列命题是真命题的是( )
    A.如实数a,b满足a2=b2,则a=b
    B.若实数a,b满足a<0,b<0,则ab<0
    C.“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
    D.三角形的三个内角中最多有一个钝角
    8.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,第1个图形有4个小圆,第2个图形有8个小圆,第3个图形有14个小圆,…,依次规律,第7个图形的小圆个数是(  )

    A.56 B.58 C.63 D.72
    9.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )

    A.CB=CD B.∠BCA=∠DCA
    C.∠BAC=∠DAC D.∠B=∠D=90°
    10.在0.3,﹣3,0,﹣这四个数中,最大的是(  )
    A.0.3 B.﹣3 C.0 D.﹣
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    11.某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查,计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为S甲2=8.5,S乙2=2.5,S丙2=10.1,S丁2=7.4,二月份白菜价格最稳定的市场是_____.
    12.如图,在中,CM平分交AB于点M,过点M作交AC于点N,且MN平分,若,则BC的长为______.

    13.已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1,则另一根为_____.
    14.计算:=________.
    15.求1+2+22+23+…+22007的值,可令s=1+2+22+23+…+22007,则2s=2+22+23+24+…+22018,因此2s﹣s=22018﹣1,即s=22018﹣1,仿照以上推理,计算出1+3+32+33+…+32018的值为_____.
    16.某风扇在网上累计销量约1570000台,请将1570000用科学记数法表示为_____.
    三、解答题(共8题,共72分)
    17.(8分)某中学为了解八年级学习体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:

    (1)本次抽样调查共抽取了多少名学生?
    (2)求测试结果为C等级的学生数,并补全条形图;
    (3)若该中学八年级共有700名学生,请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名.
    18.(8分)某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费2000元,购买乙种足球共花费1400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元;
    (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;
    (2)2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?
    19.(8分)列方程解应用题:
    某市今年进行水网升级,1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨,小丽家去年12月的水费是15元,而今年5月的水费则是30元.已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格.
    20.(8分)已知抛物线y=a(x-1)2+3(a≠0)与y轴交于点A(0,2),顶点为B,且对称轴l1与x轴交于点M
    (1)求a的值,并写出点B的坐标;
    (2)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C,且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N,过点C做DE∥x轴,分别交l1、l2于点D、E,若四边形MDEN是正方形,求平移后抛物线的解析式.

    21.(8分)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于另一点A(,0),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).
    (1)求这条抛物线的表达式;
    (2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标;
    (3)如图2,若点M在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得△POC∽△MOB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    22.(10分)问题情境:课堂上,同学们研究几何变量之间的函数关系问题:如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=1.点P是AC上的一个动点,过点P作MN⊥AC,垂足为点P(点M在边AD、DC上,点N在边AB、BC上).设AP的长为x(0≤x≤4),△AMN的面积为y.

    建立模型:(1)y与x的函数关系式为:,
    解决问题:(1)为进一步研究y随x变化的规律,小明想画出此函数的图象.请你补充列表,并在如图的坐标系中画出此函数的图象:
    x
    0

    1

    1

    3

    4
    y
    0

       

       

       

    0
    (3)观察所画的图象,写出该函数的两条性质:   .
    23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C.
    求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:;点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点,DE⊥x轴于点E,DF∥AC交抛物线对称轴于点F,求DE+DF的最大值;①在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    ②点Q在抛物线对称轴上,其纵坐标为t,请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围.
    24.如图,在▱ABCD中,∠BAC=90°,对角线AC,BD相交于点P,以AB为直径的⊙O分别交BC,BD于点E,Q,连接EP并延长交AD于点F.
    (1)求证:EF是⊙O的切线;
    (2)求证:=4BP•QP.




    参考答案

    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1、D
    【解析】
    试题分析:根据三视图的法则可知B为俯视图,D为主视图,主视图为一个正方形.
    2、A
    【解析】
    由折线统计图,可得该同学7次体育测试成绩,进而求出众数和中位数即可.
    【详解】
    由折线统计图,得:42,43,47,48,49,50,50,
    7次测试成绩的众数为50,中位数为48,
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了众数和中位数,解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.
    3、A
    【解析】
    由相反数的定义:“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.
    故选A.
    4、C
    【解析】
    根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得.
    【详解】
    根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c,
    得:
    解得:a=−0.2,b=1.5,c=−2,
    即p=−0.2t2+1.5t−2,
    当t=−=3.75时,p取得最大值,
    故选C.
    【点睛】
    本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键.
    5、D
    【解析】
    根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°,再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.
    【详解】
    根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°,
    根据∠E=36°可得∠B=54°,
    根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
    故选D
    【点睛】
    本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.
    6、D
    【解析】分析:根据中位数和众数的定义求解:众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
    详解:将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23,
    所以这组数据的众数为20分、中位数为20分,
    故选:D.
    点睛:本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.
    7、D
    【解析】
    A. 两个数的平方相等,这两个数不一定相等,有正负之分即可判断
    B. 同号相乘为正,异号相乘为负,即可判断
    C. “购买1张彩票就中奖”是随机事件即可判断
    D. 根据三角形内角和为180度,三个角中不可能有两个以上钝角即可判断
    【详解】
    如实数a,b满足a2=b2,则a=±b,A是假命题;
    数a,b满足a<0,b<0,则ab>0,B是假命题;
    若实“购买1张彩票就中奖”是随机事件,C是假命题;
    三角形的三个内角中最多有一个钝角,D是真命题;
    故选:D
    【点睛】
    本题考查了命题与定理,根据实际判断是解题的关键
    8、B
    【解析】
    试题分析:第一个图形的小圆数量=1×2+2=4;第二个图形的小圆数量=2×3+2=8;第三个图形的小圆数量=3×4+2=14;则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个,则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个.
    考点:规律题
    9、B
    【解析】
    由图形可知AC=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.
    【详解】
    解:在△ABC和△ADC中
    ∵AB=AD,AC=AC,
    ∴当CB=CD时,满足SSS,可证明△ABC≌△ACD,故A可以;
    当∠BCA=∠DCA时,满足SSA,不能证明△ABC≌△ACD,故B不可以;
    当∠BAC=∠DAC时,满足SAS,可证明△ABC≌△ACD,故C可以;
    当∠B=∠D=90°时,满足HL,可证明△ABC≌△ACD,故D可以;
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定方法,熟练掌握判定定理是解题关键.
    10、A
    【解析】
    根据正数大于0,0大于负数,正数大于负数,比较即可
    【详解】
    ∵-3<-<0<0.3
    ∴最大为0.3
    故选A.
    【点睛】
    本题考查实数比较大小,解题的关键是正确理解正数大于0,0大于负数,正数大于负数,本题属于基础题型.

    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    11、乙.
    【解析】
    据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定,即可得出答案.
    【详解】
    解:∵S甲2=8.5,S乙2=2.5,S丙2=10.1,S丁2=7.4,
    ∴S乙2<S丁2<S甲2<S丙2,
    ∴二月份白菜价格最稳定的市场是乙;
    故答案为:乙.
    【点睛】
    本题考查方差的意义.解题关键是掌握方差的意义:方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
    12、1
    【解析】
    根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长,从而可以求得BC的长.
    【详解】
    ∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,
    ∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
    ∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
    ∴∠B=30°,
    ∵AN=1,
    ∴MN=2,
    ∴AC=AN+NC=3,
    ∴BC=1,
    故答案为1.
    【点睛】
    本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
    13、1
    【解析】
    设另一根为x2,根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-1,即可求出答案.
    【详解】
    设方程的另一个根为x2,
    则-1×x2=-1,
    解得:x2=1,
    故答案为1.
    【点睛】
    本题考查了一元二次方程根与系数的关系:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=-,x1x2=.
    14、.
    【解析】
    根据异分母分式加减法法则计算即可.
    【详解】
    原式.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了分式的加减,关键是掌握分式加减的计算法则.
    15、
    【解析】
    仿照已知方法求出所求即可.
    【详解】
    令S=1+3+32+33+…+32018,则3S=3+32+33+…+32019,因此3S﹣S=32019﹣1,即S=.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
    16、1.57×1
    【解析】
    科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
    【详解】
    将1570000用科学记数法表示为1.57×1.
    故答案为1.57×1.
    【点睛】
    此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

    三、解答题(共8题,共72分)
    17、(1)50名;(2)16名;见解析;(3)56名.
    【解析】
    试题分析:根据A等级的人数和百分比求出总人数;根据总人数和A、B、D三个等级的人数求出C等级的人数;利用总人数乘以D等级人数的百分比得出答案.
    试题解析:(1)10÷20%=50(名)答:本次抽样共抽取了50名学生.
    (2)50-10-20-4=16(名)答:测试结果为C等级的学生有16名.
    补全图形如图所示:

    (3)700×(4÷50)=56(名)
    答:估计该中学八年级700名学生中体能测试为D等级的学生有56名.
    考点:统计图.
    18、(1)购买一个甲种足球需要50元,购买一个乙种篮球需要1元(2)这所学校最多可购买2个乙种足球
    【解析】
    (1)根据题意可以列出相应的分式方程,从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;
    (2)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球.
    【详解】
    (1)设购买一个甲种足球需要x元,则购买一个乙种篮球需要(x+2)元,
    根据题意得:,
    解得:x=50,
    经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,
    ∴x+2=1.
    答:购买一个甲种足球需要50元,购买一个乙种篮球需要1元.
    (2)设可购买m个乙种足球,则购买(50﹣m)个甲种足球,
    根据题意得:50×(1+10%)(50﹣m)+1×(1﹣10%)m≤2910,
    解得:m≤2.
    答:这所学校最多可购买2个乙种足球.
    【点睛】
    本题考查分式方程的应用,一元一次不等式的应用,解答此类问题的关键是明确题意,列出相应的分式方程和一元一次不等式,注意分式方程要检验,问题(2)要与实际相联系.
    19、2.4元/米
    【解析】
    利用总水费÷单价=用水量,结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,进而得出等式即可.
    【详解】
    解:设去年用水的价格每立方米元,则今年用水价格为每立方米元
    由题意列方程得:
    解得
    经检验,是原方程的解
    (元/立方米)
    答:今年居民用水的价格为每立方米元.
    【点睛】
    此题主要考查了分式方程的应用,正确表示出用水量是解题关键.
    20、(1)a=-1,B坐标为(1,3);(2)y=-(x-3)2+3,或y=-(x-7)2+3.
    【解析】
    (1)利用待定系数法即可解决问题;
    (2)如图,设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3,再用m表示点C的坐标,需分两种情况讨论,用待定系数法即可解决问题.
    【详解】
    (1)把点A(0,2)代入抛物线的解析式可得,2=a+3,
    ∴a=-1,
    ∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3,顶点为(1,3)
    (2)如图,设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3,
    由解得x=
    ∴点C的横坐标为
    ∵MN=m-1,四边形MDEN是正方形,
    ∴C(,m-1)
    把C点代入y=-(x-1)2+3,
    得m-1=-+3,
    解得m=3或-5(舍去)
    ∴平移后的解析式为y=-(x-3)2+3,
    当点C在x轴的下方时,C(,1-m)
    把C点代入y=-(x-1)2+3,
    得1-m=-+3,
    解得m=7或-1(舍去)
    ∴平移后的解析式为y=-(x-7)2+3
    综上:平移后的解析式为y=-(x-3)2+3,或y=-(x-7)2+3.

    【点睛】
    此题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是熟知正方形的性质与函数结合进行求解.
    21、(1)y=2x2﹣3x;(2)C(1,﹣1);(3)(,)或(﹣,).
    【解析】
    (1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式;
    (2)过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,可设出C点坐标,利用C点坐标可表示出CD的长,从而可表示出△BOC的面积,由条件可得到关于C点坐标的方程,可求得C点坐标;
    (3)设MB交y轴于点N,则可证得△ABO≌△NBO,可求得N点坐标,可求得直线BN的解析式,联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标,过M作MG⊥y轴于点G,由B、C的坐标可求得OB和OC的长,由相似三角形的性质可求得的值,当点P在第一象限内时,过P作PH⊥x轴于点H,由条件可证得△MOG∽△POH,由的值,可求得PH和OH,可求得P点坐标;当P点在第三象限时,同理可求得P点坐标.
    【详解】
    (1)∵B(2,t)在直线y=x上,
    ∴t=2,
    ∴B(2,2),
    把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得:,解得:,
    ∴抛物线解析式为;
    (2)如图1,过C作CD∥y轴,交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF⊥CD于点F,∵点C是抛物线上第四象限的点,
    ∴可设C(t,2t2﹣3t),则E(t,0),D(t,t),
    ∴OE=t,BF=2﹣t,CD=t﹣(2t2﹣3t)=﹣2t2+4t,
    ∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=(﹣2t2+4t)(t+2﹣t)=﹣2t2+4t,
    ∵△OBC的面积为2,
    ∴﹣2t2+4t=2,解得t1=t2=1,
    ∴C(1,﹣1);

    (3)存在.设MB交y轴于点N,
    如图2,
    ∵B(2,2),
    ∴∠AOB=∠NOB=45°,
    在△AOB和△NOB中,
    ∵∠AOB=∠NOB,OB=OB,∠ABO=∠NBO,
    ∴△AOB≌△NOB(ASA),
    ∴ON=OA=,
    ∴N(0,),
    ∴可设直线BN解析式为y=kx+,把B点坐标代入可得2=2k+,解得k=,
    ∴直线BN的解析式为,联立直线BN和抛物线解析式可得:,解得:或,
    ∴M(,),
    ∵C(1,﹣1),
    ∴∠COA=∠AOB=45°,且B(2,2),
    ∴OB=,OC=,
    ∵△POC∽△MOB,
    ∴,∠POC=∠BOM,
    当点P在第一象限时
    ,如图3,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥x轴于点H,如图3
    ∵∠COA=∠BOG=45°,
    ∴∠MOG=∠POH,且∠PHO=∠MGO,
    ∴△MOG∽△POH,

    ∵M(,),
    ∴MG=,OG=,
    ∴PH=MG=,OH=OG=,
    ∴P(,);
    当点P在第三象限时,如图4,过M作MG⊥y轴于点G,过P作PH⊥y轴于点H,
    同理可求得PH=MG=,OH=OG=,
    ∴P(﹣,);
    综上可知:存在满足条件的点P,其坐标为(,)或(﹣,).

    【点睛】
    本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键,在(3)中确定出点P的位置,构造相似三角形是解题的关键,注意分两种情况.
    22、 (1) ①y=;②;(1)见解析;(3)见解析
    【解析】
    (1)根据线段相似的关系得出函数关系式(1)代入①中函数表达式即可填表(3)画图像,分析即可.
    【详解】
    (1)设AP=x
    ①当0≤x≤1时
    ∵MN∥BD
    ∴△APM∽△AOD

    ∴MP=
    ∵AC垂直平分MN
    ∴PN=PM=x
    ∴MN=x
    ∴y=AP•MN=
    ②当1<x≤4时,P在线段OC上,
    ∴CP=4﹣x
    ∴△CPM∽△COD

    ∴PM=
    ∴MN=1PM=4﹣x
    ∴y==﹣
    ∴y=
    (1)由(1)
    当x=1时,y=
    当x=1时,y=1
    当x=3时,y=

    (3)根据(1)画出函数图象示意图可知
    1、当0≤x≤1时,y随x的增大而增大
    1、当1<x≤4时,y随x的增大而减小
    【点睛】
    本题考查函数,解题的关键是数形结合思想.
    23、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)DE+DF有最大值为;(3)①存在,P的坐标为(,)或(,);②<t<.
    【解析】
    (1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),根据系数的关系,即可解答
    (2)先求出当x=0时,C的坐标,设直线AC的解析式为y=px+q,把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式,过D作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D(x,﹣x2+2x+3),得出DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,即可解答
    (3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1,求出直线PC的解析式,再结合抛物线的解析式可求出P1,过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,再利用A的坐标求出P2,即可解答
    ②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况,即可解答
    【详解】
    解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,
    ∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
    (2)当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,∴直线AC的解析式为y=3x+3,如答图1,过D作DG垂直抛物线对称轴于点G,设D(x,﹣x2+2x+3),
    ∵DF∥AC,
    ∴∠DFG=∠ACO,易知抛物线对称轴为x=1,
    ∴DG=x-1,DF=(x-1),
    ∴DE+DF=﹣x2+2x+3+(x-1)=﹣x2+(2+)x+3-,
    ∴当x=,DE+DF有最大值为;

    答图1 答图2
    (3)①存在;如答图2,过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1,
    ∵直线AC的解析式为y=3x+3,
    ∴直线PC的解析式可设为y=x+m,把C(0,3)代入得m=3,
    ∴直线P1C的解析式为y=x+3,解方程组,解得或,则此时P1点坐标为(,);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2,直线AP2的解析式可设为y=x+n,把A(﹣1,0)代入得n=,
    ∴直线PC的解析式为y=,解方程组,解得或,则此时P2点坐标为(,),综上所述,符合条件的点P的坐标为(,)或(,);
    ②<t<.
    【点睛】
    此题考查二次函数综合题,解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.
    24、(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【解析】
    试题分析:(1)连接OE,AE,由AB是⊙O的直径,得到∠AEB=∠AEC=90°,根据四边形ABCD是平行四边形,得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;
    (2)由AB是⊙O的直径,得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到=PB•PQ,根据全等三角形的性质得到PF=PE,求得PA=PE=EF,等量代换即可得到结论.
    试题解析:(1)连接OE,AE,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴PA=PC,∴PA=PC=PE,∴∠PAE=∠PEA,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠OEP=∠OAC=90°,∴EF是⊙O的切线;
    (2)∵AB是⊙O的直径,∴∠AQB=90°,∴△APQ∽△BPA,∴,∴=PB•PQ,在△AFP与△CEP中,∵∠PAF=∠PCE,∠APF=∠CPE,PA=PC,∴△AFP≌△CEP,∴PF=PE,∴PA=PE=EF,∴=4BP•QP.

    考点:切线的判定;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.

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