高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数达标测试

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数达标测试，共8页。

1．下列函数零点不能用二分法求解的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2 eq \r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
2．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，＋∞)
3．某同学用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝3x＋3x－8，且计算f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)>0，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A．f(0.5) B．f(1.125) C．f(1.25) D．f(1.75)
4．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4] B．[－2，1]
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
5．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )
A．(1.4，2) B．(1，1.4) C．(1，1.5) D．(1.5，2)
6．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75
7．用二分法研究函数f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，那么下一次应计算x＝________时的函数值．
8．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
9．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值：
10．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.
(1)证明f(x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 eq \f(1,4).
[提能力]
11．(多选)若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，4)，(0，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内，则与f(0)符号不同的是( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4))) B．f(2) C．f(1) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
12．若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
14．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
15．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若m＝－4，判断f(x)＝0在(－1，1)上是否有根存在？没有，请说明理由；若有，并在精确度为0.2的条件下(即根所在区间长度小于0.2)，用二分法求出使这个根x0存在的区间；
(2)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围．
[培优生]
16．求方程3x＋ eq \f(x,x＋1)＝0的近似解(精确度0.1).
课时作业(三十四) 计算函数零点的二分法
1．解析：对于C，f(x)＝(x＋ eq \r(2))2≥0，不能用二分法．
故选C.
答案：C
2．解析：因为f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内一定存在零点．
故选B.
答案：B
3．解析：∵f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)>0，∴在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值 eq \f(1＋1.5,2)＝1.25.
故选C.
答案：C
4．解析：∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).
故选D.
答案：D
5．解析：令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－0.625<0，由f(1.5)f(2)<0知根所在的区间为(1.5，2).
故选D.
答案：D
6．解析：由表格知函数值在0的左右两侧最接近的值，即f(2.5)≈－0.084，f(2.562 5)≈0.066，可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.
答案：AB
7．解析：∵f(0)<0，f(0.5)<0，f(1)>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间(0.5，1)内，取x＝0.75.
答案：0.75
8．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
9．解析：(1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1＜0，
f(2)＝22＋2×2－5＝3＞0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.375－1.25|＝0.125＞0.1，
且|1.312 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
10．解析：(1)证明：f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．
由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2，3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝ eq \f(2＋3,2)＝ eq \f(5,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝ln eq \f(5,2)＋5－6＝ln eq \f(5,2)－1<0，
∴f(3)·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))<0.
∴f(x)零点x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).取x2＝ eq \f(\f(5,2)＋3,2)＝ eq \f(11,4)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))＝ln eq \f(11,4)＋2× eq \f(11,4)－6＝ln eq \f(11,4)－ eq \f(1,2)>0.
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))<0.∴x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4))).
∵| eq \f(11,4)－ eq \f(5,2)|＝ eq \f(1,4)≤ eq \f(1,4)，∴满足题意的区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(11,4))).
11．解析：由二分法的步骤可知：①零点在区间(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；②零点在区间(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；③零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点 eq \f(3,2)；④零点在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内，则有f(1)·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，则f(1)>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，则取中点 eq \f(5,4)；⑤零点在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内，则有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))).故选BD.
答案：BD
12．解析：设对区间(1，2)至少二等分n次，初始的区间长为1，
第1次二等分后区间长为 eq \f(1,2)；
第2次二等分后区间长为 eq \f(1,22)；
第3次二等分后区间长为 eq \f(1,23)；
第n次二等分后区间长为 eq \f(1,2n).
根据题意得 eq \f(1,2n)<0.01，∴n>lg2100.
∵6故对区间(1，2)至少二等分7次．
故选C.
答案：C
13．解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0，知x0∈(0，0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置．
答案：(0，0.5) f(0.25)
14．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
15．解析：(1)m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，
可以求出f(－1)＝9，f(1)＝－7，
∵f(－1)·f(1)<0，f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)＝0在(－1，1)上必有根存在，
取中点0，代入函数得f(0)＝－1<0，f(－1)·f(0)<0，
根x0∈(－1，0)，
再取中点－ eq \f(1,2)，
计算得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝ eq \f(7,2)>0，
∴根x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，
取其中点－ eq \f(1,4)，计算得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝ eq \f(9,8)>0，
∴根x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))，
取其中点－ eq \f(1,8)，计算得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝ eq \f(1,32)>0，
∴根x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，0))，
区间长度 eq \f(1,8)< eq \f(1,5)，符合要求，
故符合要求的根存在的区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，0)).
(2)f(x)＝2x2－8x＋m＋3的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－ eq \f(－8,2×2)＝2，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，又f(x)在区间[－1，1]上存在零点，只可能 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）≥0，,f（1）≤0))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋8＋m＋3≥0，,2－8＋m＋3≤0，))
∴－13≤m≤3.
16．解析：原方程可化为3x－ eq \f(1,x＋1)＋1＝0，即3x＝ eq \f(1,x＋1)－1.
令g(x)＝3x，h(x)＝ eq \f(1,x＋1)－1，
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝ eq \f(1,x＋1)－1的简图．
函数g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(－1，0)，且只有一个交点，∴原方程只有一个解x＝x0.
令f(x)＝3x＋ eq \f(x,x＋1)＝3x－ eq \f(1,x＋1)＋1，
∵f(0)＝1－1＋1＝1>0，f(－0.5)＝ eq \f(1,\r(3))－2＋1＝ eq \f(1－\r(3),\r(3))<0，∴x0∈(－0.5，0).
用二分法逐步计算列表如下：
∵|－0.437 5－(－0.375)|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为－0.437 5.x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3
f(2)≈－1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562 5)≈0.066
x
1.25
1.281 25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.378
2.430
2.484
2.594
2.828
区间
中点的值
中点函数值符号
(1，2)
1.5
f(1.5)＞0
(1，1.5)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＞0
(1.25，1.312 5)
1.281 25
f(1.281 25)＜0
中点值
中点(端点)函数值及符号
选取区间
f(－0.5)<0，f(0)>0
(－0.5，0)
－0.25
f(－0.25)≈0.426 5>0
(－0.5，－0.25)
－0.375
f(－0.375)≈0.062 3>0
(－0.5，－0.375)
－0.437 5
f(－0.437 5)≈－0.159 3<0
(－0.437 5，
－0.375)