新高考高考数学一轮复习巩固练习10.7第93练《二项分布与超几何分布、正态分布》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 二项分布
1．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，则P(ξ＝2)的值为( )
A.eq \f(80,243) B.eq \f(13,243) C.eq \f(4,243) D.eq \f(3,16)
答案 A
解析 P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(80,243).
2．设随机变量ξ～B(2，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则p的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(16,27)
答案 B
解析 ∵随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，p))，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))2，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ≥1))＝1－Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝0))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))2＝eq \f(5,9)，
解得p＝eq \f(1,3).
3．某群体中的每位成员使用移动支付的概率为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案 B
解析 ∵D(X)＝npeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))，p＝0.4或p＝0.6，
又Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝4))＝Ceq \\al(4,10)p4(1－p)6＝Ceq \\al(6,10)p6(1－p)4，
则p4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p))6即(1－p)2由于01－p，则p＝0.6.
考点二 超几何分布
4．设袋中装有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.eq \f(C\\al(4,80)C\\al(6,10),C\\al(10,100)) B.eq \f(C\\al(6,80)C\\al(4,10),C\\al(10,100))
C.eq \f(C\\al(4,80)C\\al(6,20),C\\al(10,100)) D.eq \f(C\\al(6,80)C\\al(4,20),C\\al(10,100))
答案 D
解析 从100个球中任取10个球，有Ceq \\al(10,100)种取法，从80个红球中取6个红球共有Ceq \\al(6,80)种取法，从20个白球中取4个白球共有Ceq \\al(4,20)种取法，所以其中恰有6个红球的概率为eq \f(C\\al(6,80)C\\al(4,20),C\\al(10,100)).
5．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(13,16) C.eq \f(12,35) D.eq \f(13,35)
答案 D
解析 取出的4只球中红球的个数可能为4,3,2,1，黑球相应的个数为0,1,2,3.其分值为4,6,8,10.
P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,3),C\\al(4,7))＋eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＝eq \f(13,35).
6．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )
A.eq \f(5,42) B.eq \f(4,35) C.eq \f(19,42) D.eq \f(8,21)
答案 A
解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,10))＝eq \f(1,210)，当1个正品3个次品时，P＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(3,4),C\\al(4,10))＝eq \f(24,210)＝eq \f(4,35)，所以正品数比次品数少的概率为eq \f(1,210)＋eq \f(4,35)＝eq \f(5,42).
考点三 正态分布
7．某厂生产的零件外直径X～N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
答案 A
解析 10－3×0.2≤X≤10＋3×0.2，即9.4≤X≤10.6，在[9.4,10.6]内的为大概率事件，之外的为小概率事件，故认为上午正常，下午异常．
8．(多选)关于正态曲线特点的叙述，正确的是( )
A．曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方
B．曲线对应的正态密度函数是偶函数
C．曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低
D．曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大曲线越“矮胖”．反之，曲线越“瘦高”
答案 ACD
解析 根据正态曲线的性质，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，＋∞))时， 正态曲线全在x轴上方，只有当μ＝0时，正态曲线才关于y轴对称，所以B不正确．
9．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为( )
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
答案 C
解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，
∴正态曲线的对称轴是直线ξ＝100.
∵ξ在(80,120)内的概率为0.6，
∴ξ在(80,100)内的概率为0.3，
∴ξ在(0,80)内的概率为0.5－0.3＝0.2.
故任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P＝Ceq \\al(1,2)×0.2×(1－0.2)＝0.32.
10．随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容．昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(单位：厘米)作为样本，通过数据分析得到D～N(12.5,4.52)．若将D≥21.5的植株建档重点监测，据此估算
10 000株滇山茶建档的约有________株．
参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5.
答案 228
解析 因为D～N(12.5,4.52)，所以μ＝12.5，σ＝4.5，因为P(3.5≤D≤21.5)＝P(12.5－2×4.5≤D≤12.5＋2×4.5)＝0.954 5，所以P(D≥21.5)＝eq \f(1－P3.5≤D≤21.5,2)＝eq \f(1－0.954 5,2)＝
0. 022 75，则10 000×0.022 75＝227.5≈228，所以10 000株滇山茶建档的约有228株．
11．一袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( )
A．Ceq \\al(10,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2 B．Ceq \\al(9,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
C．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2 D．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
答案 D
解析 由题意得，取到红球的概率P＝eq \f(3,8)，停止时共取了12次球，其中前11次红球出现9次，第12次为红球，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝12))＝Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2×eq \f(3,8)＝Ceq \\al(9,11)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2.
12．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个．从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列算式中等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(0<ξ≤2) B．P(ξ≤1)
C．P(ξ＝2) D．P(ξ＝1)
答案 B
解析 随机变量ξ的分布列为
而P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)．
13．(多选)下列说法中正确的是( )
A．已知随机变量X服从B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝eq \f(2,3)
B．已知P(BA)＝0.34，P(B)＝0.71，则P(Beq \x\t(A))＝0.37
C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1≤ξ≤0)＝eq \f(1,2)－p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，若X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大
答案 BCD
解析 对于选项A，由随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝30，D(X)＝20，
可得np＝30，np(1－p)＝20，则p＝eq \f(1,3)，A错误；
对于选项B，因为A＋eq \x\t(A)为必然事件，
所以B＝B(A＋eq \x\t(A))＝BA＋Beq \x\t(A)，
而BA与Beq \x\t(A)互斥，
所以P(B)＝P(BA)＋P(Beq \x\t(A))，
则P(Beq \x\t(A))＝P(B)－P(BA)＝0.71－0.34＝0.37，B正确；
对于选项C，由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得其正态曲线关于y轴对称，若P(ξ>1)＝p，
则P(0≤ξ≤1)＝eq \f(1,2)－p，
则P(－1≤ξ≤0)＝P(0≤ξ≤1)＝eq \f(1,2)－p，C正确；
对于选项D，因为在10次射击中，击中目标的次数为X，且X～B(10,0.8)，
所以当X＝k(k≤10，k∈N)时，对应的概率P(X＝k)＝Ceq \\al(k,10)·0.8k·0.210－k，
所以当k≥1时，eq \f(PX＝k,PX＝k－1)
＝eq \f(C\\al(k,10)·0.8k·0.210－k,C\\al(k－1,10)·0.8k－1·0.210－k－1)＝eq \f(411－k,k)，
由eq \f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq \f(411－k,k)≥1得1≤k≤eq \f(44,5)，
所以1≤k≤8且k∈N，
又P(X＝0)故当k＝8时，概率P(X＝8)最大，D正确．
14．(多选)(2022·威海模拟)4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，则( )
(附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．该校学生每周平均阅读时间为9小时
B．该校学生每周阅读时间的标准差为4
C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%
D．若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214
答案 AD
解析 由某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，可知该校学生每周平均阅读时间为9小时，故A正确；
该校学生每周阅读时间的方差为4，故B错误；
该校学生每周阅读时间不超过3小时的概率
P(X≤3)＝P(X≤μ－3σ)
＝eq \f(1,2)[1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)]≈eq \f(1,2)(1－0.997 3)
＝0.001 35＝0.135%，故C错误；
每周阅读时间在3～5小时的概率为P(μ－3σ≤X≤μ－2σ)＝eq \f(1,2)[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈eq \f(1,2)(0.997 3－0.954 5)＝0.021 4，
若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214，故D正确．
ξ
0
1
2
P
eq \f(C\\al(2,22),C\\al(2,26))
eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4),C\\al(2,26))
eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,26))