2020北京首师大附中高二（上）期中数学含答案

2020北京首师大附中高二（上）期中

数    学

第Ⅰ卷（共30分）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.双曲线的方程为，则其离心率为（    ）

A. B. C. D.

2.已知直线：与：平行，则的值是（    ）

A.1或0 B.5 C.0或5 D.1或5

3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

4.将6枚相同的硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且毎行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（    ）种.

A.6 B.12 C.18 D,36

5.圆：与圆：的公切线的条数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（    ）

A. B. C. D.

7.已知椭圆的焦点为，.过点的直线与交于，两点，若周长为8，则椭圆的标准方程为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，底面半径为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为（    ）

A.  B.

C.  D.

9.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）

A.84 B.54 C.42 D.18

10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1中的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱与所在直线的位置关系为（    ）

A.平行  B.相交

C.异面且垂直  D.异面且不垂直

第Ⅱ卷（共70分）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）

12.为抛物线的焦点，，，在抛物线上，若，则________.

13.某种产品的加工需要，，，，五道工艺，其中必须在的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，与必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种.（用数字作答）

14.若方程所表示的曲线为，给出下列四个命题：

①若为椭圆，则实数的取值范围为；

②若为双曲线，则实数的取值范围为；

③曲线不可能是圆；

④若表示椭圆，且长轴在轴上，则实数的取值范围为.

其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）

15.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排，，，，五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种.（用数字作答）

16.设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为________.

17.已知棱长为2的正方体，为棱中点，现有一只妈蚁从点出发，在正方体表面上行走一周后再回到点，这只蚂蚁在行走过程中与平面的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________.

8.关于曲线：，给出下列四个结论：

①出线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；

②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线上任意一点都不在圆的内部；

④曲线上任意一点到原点的距离都不大于.

其中，正确结论的序号是________.

三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题9分）

如图所示，平行六面体中，平面，，，分别为，的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

20.（本小题8分）

已知点为坐标原点，，动点使得.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为，过点的直线与交于两点、，若，求直线的方程.

21.（本小题11分）

四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当为中点时，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若直线与平面所成的角为时，求.

22.（本小题10分）

已知椭圆：（其中）的右焦点为，直线过点与椭圆交于，两点，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的长轴长和离心率；

（Ⅱ）求的面积的最大值；

（Ⅲ）若为直角三角形，求直线的方程.

2020北京首师大附中高二（上）期中数学

参考答案

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1-5：BCCAB    6-10：CCACB

第Ⅱ卷（共70分）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.15    12.6    13.24    14.②    15.45    16.    17.    18.①④

三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.证明：因为平面，所以，.

因为，如图建立空间直角坐标系，则

，，，，，，，，，

此时，，，，.

（Ⅰ）因为，所以.

因为平面，所以平面.

（Ⅱ）因为，，

所以是平面的法向量，

所以平面.

（Ⅲ）点到平面的距离为.

20.解：（Ⅰ）设点，则，.

由题意，.

整理得：.

即点的轨迹方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，为以为圆心，以为半径的圆，设的中点为，连结，.由垂径定理，.

即点到直线的距离为2.

（1）当直线的斜率不存在时，：，经检验符合题意；

（2）当直线的斜率存在时，设：，即

所以，.

解得：.

所以，：，即.

由（1）、（2）可知，直线的方程为或.

21.证明：（Ⅰ）因为平行四边形中，，

所以四边形是菱形，所以.

因为平面，所以.

又因为，所以平面.

所以平面平面.

（Ⅱ）在平面内，过点作，则，因为平面，

平面，所以.如图建立空间直角坐标系，则

，，，，.

当为中点时，.

所以，，，.

设平面的方向量为，则

令，得，，所以.

设平面的方向量为，则

则，令，则.

所以，.

因为二面角为锐二面角，得二面角的余弦值为.

（Ⅲ）设，则

.

由（Ⅰ）得，平面.所以，平面的一个方向量为，

由题意：，故，即.

所以，，即.

解得，.

所以或.

22.解：（Ⅰ）由题意，，解得.

所以，椭圆的长轴长为，离心率为.

（Ⅱ）设直线的方程为，联立

整理得：，

即.

设，，由，得，.

所以，.

所以，的面积，

令，则，得.

当且仅当时（即时）等号成立，此时：.

（Ⅲ）（1）若，则，故，，则

因为，故，即，无解.

即.同理，.

（2）若，得，即，得.

故.故.

解得，故.故：（即）

所以.

所以.

所以，，三点共线.…10分

（3）（i）当直线的斜率不存在时，易知，此时的面积为.

（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率.

所以.

又因为，

所以的面积.

令，则.

所以

因为，所以，所以，所以

所以.

综上所述，当直线轴时，的面积取得最大值.…16分