2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题；共40分）
1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
3．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，体重在[45，50）内适合跑步训练，体重在[50，55）内适合跳远训练，体重在[55，60）内适合投掷相关方面训练，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（　　）

A．4：3：1 B．5：3：1 C．5：3：2 D．3：2：1
5．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（　　）
A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2
7．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（　　）
A．两条平行线 B．一条直线和一条射线
C．两条射线 D．一条直线
9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的值可能是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
10．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞） D．（﹣1，3）
二、填空题（共5小题：共25分）
11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝　 　．
12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　 　．
13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝　 　．
14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝　 　．
15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有　 　．
①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a，|y|≤b成立）
②该曲线不是中心对称图形；
③该曲线是轴对称图形；
④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．
三、解答题
16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．
（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；
（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
17．（14分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．

19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；
（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；
（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．

20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．
21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）均有aiaj+ajak+akal≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．
（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．
（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．
（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，aiaj≥C．

2020-2021学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题；共40分）
1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
【分析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，
则A∩B＝{1，3}，
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（4分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【分析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．
【解答】解：z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，
∴|z|＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题．
3．（4分）“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，由直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，可得﹣a＞1或﹣a＜0，解得a范围即可判断出结论．
【解答】解：设直线ax+y﹣3＝0的倾斜角为θ，tanθ＝﹣a，
∵直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于，
∴﹣a＞1或﹣a＜0，
解得a＜﹣1，或a＞0．
∴“a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3＝0的倾斜角大于”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（4分）某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，体重在[45，50）内适合跑步训练，体重在[50，55）内适合跳远训练，体重在[55，60）内适合投掷相关方面训练，试估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为（　　）

A．4：3：1 B．5：3：1 C．5：3：2 D．3：2：1
【分析】分别求出体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55）内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60）内频率为0.02×5＝0.1，即可求得结论．
【解答】解：体重在[45，50）内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55）内频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60）内频率为0.02×5＝0.1，
∵0.5：0.3：0.1＝5：3：1
故可估计跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5：3：1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．
5．（4分）已知函数g（x）＝f（2x）﹣x2为奇函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据g（x）为奇函数可得出g（﹣2）＝﹣g（2），再根据f（2）＝1即可得出f（﹣2）﹣1＝﹣1+1，从而求出f（﹣2）＝1．
【解答】解：∵g（x）为奇函数，且f（2）＝1；
∴g（﹣1）＝﹣g（1）；
∴f（﹣2）﹣1＝﹣f（2）+1＝﹣1+1；
∴f（﹣2）＝1．
故选：C．
【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．
6．（4分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（　　）
A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2
【分析】利用向量加法法则直接求解．
【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，
则＝＝
＝
＝2．
故选：C．

【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（4分）若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
【分析】若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，判断点B与直线a的关系，
【解答】解：①点B∉直线a时，平面α∥平面β，直线a∥平面α，∴a∥β或a⊂β，a∥β时，由线面平行性质定理，在平面β内存在唯一过B点与a平行的直线；a⊂β时，过直线外一点有且只有一条直线与一直在线平行，故存在唯一与a平行的直线；②点B∈直线a时，则在平面β内不存在过B点的直线与a平行．
故选：A．
【点评】本题考查空间线面位置关系，关键在于点B与直线a的位置关系判断．
8．（4分）方程（x+y+6）＝0表示的曲线是（　　）
A．两条平行线 B．一条直线和一条射线
C．两条射线 D．一条直线
【分析】由原方程可得x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0，结合两直线的位置关系，可得结论．
【解答】解：方程（x+y+6）＝0，即为x+y﹣3＝0或x+y+6＝0且x+y﹣3≥0，
由于直线x+y＝3与直线x+y+6＝0平行，且直线x+y+6＝0的上方，
所以x+y+6＝0且x+y﹣3≥0的解集为∅，
所以方程（x+y+6）＝0表示的曲线为直线x+y﹣3＝0，
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
9．（4分）若函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的值可能是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】根据y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得y＝sin[ω（x﹣）+]的图象，再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，可得﹣ω•＝2kπ+，k∈z，由此可得ω的可能值．
【解答】解：函数y＝sin（ωx+）的图象向右平移个单位后，可得函数y＝sin[ω（x﹣）+]的图象，
再根据所得函数的图象与函数y＝cosωx的图象重合，
∴﹣ω•＝2kπ+，k∈z，
∴当k＝0时，ω＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
10．（4分）已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣1），∪（3，+∞） D．（﹣1，3）
【分析】讨论x＜0，x≥0时函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，把f（3﹣x2）＞f（2x）转化为关于x的一元二次不等式求解．
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x3是增函数，
当x≥0时，f（x）＝ex递增，且0＜e0＝1，
可得f（x）在R上单调递增，
由f（3﹣x2）＞f（2x），可得3﹣x2＞2x，
解得﹣3＜x＜1，
则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（﹣3，1）．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，是基础题．
二、填空题（共5小题：共25分）
11．（5分）如果直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，则a＝　3　．
【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．
【解答】解：∵直线ax+2y+3a＝0与直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行，
∴，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（5分）直线y＝x+1与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于A，B两点，则|AB|＝　2　．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：＝，
所以|AB|＝2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
13．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则a＝　　．
【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用三角函数的余弦定理求得a．
【解答】解：∵S△ABC＝bcsinA＝
∴c＝4
∴a＝＝＝
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．灵活利用正弦定理和余弦定理是解决三角形边角问题的关键．
14．（5分）椭圆+＝1的离心率为，则m＝　3或　．
【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．
【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，
（ⅰ）若0＜m＜4，则a2＝4，b2＝m，
∴c＝，∴e＝＝，得 m＝3；
（ⅱ）m＞4，则b2＝4，a2＝m，
∴c＝，∴e＝＝，得 m＝；
综上：m＝3或m＝，
故答案为：3或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．
15．（5分）在平面直角坐标系中，关于曲线y2＝x3﹣2x+1，下列说法中正确的有　②③　．
①该曲线是有界的（即存在实数a，b，使得对于曲线上任意一点A（x，y），都有|x|≤a，|y|≤b成立）
②该曲线不是中心对称图形；
③该曲线是轴对称图形；
④直线x＝m（m＞0）与该曲线至少有1个公共点．
【分析】①根据题意可得x3﹣2x+1≥0，解得x取值范围，进而可得出结论；
②假设曲线是中心对称图形，由x∈[﹣，]∪[1，+∞），推出点P（x0，y0）的对称点的横坐标x→﹣∞，不符合题意；
③将方程中y变为﹣y，观察与原方程是否相等，即可判断是否关于原点对称，进而判断③；
④当m∈（，1）时，直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．
【解答】解：①因为y2＝x3﹣2x+1，所以x3﹣2x+1≥0，
所以（x2+x﹣1）（x﹣1）≥0，
解得x∈[﹣，]∪[1，+∞），
所以|x|≤a不恒成立，故①错误，
②假设曲线是中心对称图形，因为x∈[﹣，]∪[1，+∞），
所以取一点P（x0，y0），
当x0→+∞，此时点P（x0，y0）的对称点的横坐标x→﹣∞，
不符合x∈[﹣，]∪[1，+∞），
所以假设错误，故②正确，
③将方程y2＝x3﹣2x+1中的y变为﹣y时，方程变为（﹣y）2＝x3﹣2x+1，
与原方程相同，所以曲线关于x轴对称，故③正确，
④因为x∈[﹣，]∪[1，+∞），所以当m∈（，1）时，
直线x＝m（m＞0）与该曲线无交点，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查曲线的方程，命题真假的判断，解题中需要掌握对称性的应用，属于中档题．
三、解答题
16．（14分）已知直线l：y＝x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0交于不同的两点．
（Ⅰ）写出圆心坐标和半径，并求出m的取值范围；
（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用直线与圆相交，得到关系式，利用判别式大于0得到结果．
（Ⅱ）直线AB经过圆心，进一步利用代入法求出m的值，最后确定直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x+4y+3＝0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，
圆心坐标（1，﹣2），半径为．
由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m+3＝0，
∴△＝4（m+1）2﹣8（m2+4m+3）＞0，解得﹣5＜m＜﹣1．
（Ⅱ）当直线l经过圆C的圆心时，﹣2＝1+m，可得m＝﹣3，
∴直线l：y＝x﹣3．
直线l与x轴的交点为（3，0），与y轴交点为（0，﹣3），
所以，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝
【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用及相关的运算问题，属于中档题．
17．（14分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解．
（Ⅱ）由题意可求范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）+1＝2sinxcosx﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），
所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[0，]时，可得2x﹣∈[﹣，]，
所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
可得f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，即函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
18．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．

【分析】（Ⅰ）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC＝1，AB＝2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD
又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD
∴AB∥平面PCD
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE＝DC＝1
又AB＝2，∴BE＝1
在Rt△BEC中，∠ABC＝45°
∴CE＝BE＝1，CB＝
∴AD＝CE＝1
则AC＝＝，AC2+BC2＝AB2
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC＝A
∴BC⊥平面PAC
（Ⅲ）∵M是PC中点，
∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半
∴．

【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．
19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；
（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；
（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．

【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1），可得•＝0，即可证明DA1⊥ED1；
（Ⅱ）求出平面CED1的一个法向量，利用直线DA1与平面CED1成角为45°，可得＝，即可求的值；
（Ⅲ）点E在A点处，可求点E到直线D1C距离的最大值．
【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）
（Ⅰ）证明：＝（1，0，1），＝（﹣1，﹣m，1）
∴•＝0
∴DA1⊥ED1；（4分）
（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为＝（x，y，z），则
∵＝（0，﹣1，1），＝（1，m﹣1，0）
∴．
取z＝1，得y＝1，x＝1﹣m，得＝（1﹣m，1，1）．
∵直线DA1与平面CED1成角为45°，
∴sin45°＝|cos＜，＞|＝，
∴＝，解得m＝．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

【点评】本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．
20．（14分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2＝上，直线AM与椭圆交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得|AB|＝2|AM|，即＝2，运用向量的坐标表示，可得M的坐标，代入圆的方程，可得直线AB的斜率，即可得到所求直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝＝，2b＝2，即b＝，则a＝2，
所以椭圆的标准方程为+＝1；
（Ⅱ）A（﹣2，0），设直线AB的方程为y＝k（x+2），与椭圆方程x2+2y2﹣4＝0联立，
可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
设x1＝﹣2，可得x2＝，y2＝，
由△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，设O到AB的距离为d，
可得＝2，即|AB|＝2|AM|，即＝2，
设M（m，n），可得（，）＝2（m+2，n），
可得m＝，n＝，
由M在圆x2+y2＝上，可得m2+n2＝，
即为28k4+k2﹣2＝0，解得k＝±，
则直线AB的方程为y＝x+1或y＝﹣x﹣1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（15分）对于4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），若对1，2，3，4的任意一种排序i，j，k，（即i，j，k，l∈{1，2，3，4}且i，j，k，l互不相同）均有aiaj+ajak+akal≥﹣1，则称实数组（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”．
（Ⅰ）分别判断（﹣1，﹣1，1，1），（﹣，t，t，t）（t∈R，t≠0）是否为“阳光组”，说明理由．
（Ⅱ）设（a1，a2，a3，a4）为“阳光组”，证明：a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣．
（Ⅲ）求最大的常数C使得对于每个“阳光组”（a1，a2，a3，a4）均有，aiaj≥C．
【分析】（Ⅰ）根据“阳光组”的定义即可判断；
（Ⅱ）根据“阳光组”的定义可得a1a2+a2a3+a3a4≥﹣1，a1a2+a1a4+a2a3≥﹣1，a1a2+a1a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a4a1≥﹣1，不等式相加即可证明；
（Ⅲ）aiaj＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4，再利用“阳光组”的定义可得a1a2+a1a3+a2a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a1a4≥﹣1，即可得C≤﹣2，即可求最大的常数C．
【解答】解：（Ⅰ）①（﹣1，﹣1，1，1）不是，
当i＝3，j＝2，k＝4，l＝1时，aiaj+ajak+akal≥a2a3+a2a4+a1a4＝﹣3，不满足“阳光组”条件；
②（﹣，t，t，t），是，
a1a2＝﹣，a1a3＝﹣，a1a4＝﹣，a2a3＝t2，a2a4＝t2，a3a4＝t2，
aiaj+ajak+akal≥2t2﹣或t2﹣1，均满足aiaj+ajak+akal≥﹣1，满足“阳光组”条件；
（Ⅱ）根据“阳光组”条件，
a1a2+a2a3+a3a4≥﹣1，a1a2+a1a4+a2a3≥﹣1，
a1a2+a1a4+a3a4≥﹣1，a2a3+a3a4+a4a1≥﹣1，
将以上四个不等式相加得：3（a1a2+a2a3+a3a4+a4a1）≥﹣4，
故a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≥﹣；
（Ⅲ）aiaj＝a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4
＝（a1a2+a1a3+a2a4）+（a2a3+a3a4+a1a4）
≥（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，
故C＝﹣2．
【点评】本题的关键点是理解“阳光组”的定义，4元有序实数组（a1，a2，a3，a4），均有aiaj+ajak+akal≥﹣1，对于后面的问题利用定义解决即可．
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日期：2021/10/4 9:28:10；用户：张强；邮箱：goodboyiis@163.com；学号：426909

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