2020北京交大附中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2020北京交大附中高一（上）期中数学（教师版），共15页。试卷主要包含了11，已知集合，，则，已知命题，关于的方程有解，则为，如果，那么下列不等式中正确的是，是关于的方程有两个负根的，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。

2020北京交大附中高一（上）期中
数 学
2020.11
说明：本试卷共4页，共120分。考试时长90分钟。
一、选择题（共10小题,共40分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知命题，关于的方程有解，则为
A.，方程无解
B.，方程有解
C.，方程无解
D.，方程有解
3.如果，那么下列不等式中正确的是
A. B. C. D.
4.下列各组函数与表示同一个函数的是
A.，
B.，
C.，
D.，
5.下列函数中，在区间上为增函数的是
A. B.
C. D.
6.是关于的方程有两个负根的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.函数的图象大致为
A.B.
C.D.
8.已知函数与函数的图象关于轴对称，若在区间内单调递减，则的取值范围为
A. B. C. D.
9.一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字()
A.4，6 B.3，6 C.3，7 D.1，7
10.设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；
②任取的两个不同子集，，对任意都有；
③任取的两个不同子集，，对任意都有.
其中所有正确结论的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空题（共5小题,共20分）
11.函数的定义域为_________．

12.方程组的解集中元素的个数为_________.
13.若不等式在内恒成立，则的取值范围是_________．
14.已知函数的对应关系如下表：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1

则的值为_________；满足的的值是_________.

15.对任意的，若函数的大致图象为如右图所示的一条折线（两侧的射线均平行于轴），写出满足条件的一组的值分别为_________,_________.

三、解答题（共5小题；共60分）
16.已知集合,．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．



17.已知函数．
（1）求函数 的定义域；
（2）用函数单调性定义证明： 在 上是增函数．

18.已知函数.
（1）若，且函数的值域为，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若为偶函数,且设，判断是否大于零，请说明理由.





19.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？






20.对于定义域为的函数，若有常数，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”.
（1）判断是否为函数的“均值”，请说明理由；
（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数的取值范围；
（3）若函数是单调函数，且其值域为区间.试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数等）与区间之间的关系，写出你的结论（只要写出一个正确结论即可,不必证明）.




2020北京交大附中高一（上）期中数学
参考答案
一、选择题（共10小题，共40分）
1．【分析】解关于x的不等式，求出P、Q的交集即可．
【解答】解：∵P＝{x∈R，||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，
则P∩Q＝[﹣1，2），
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，考查绝对值不等式问题，是一道基础题．
2．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解．
故选：A．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：若a＞0＞b，则＞，故A错误；
取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；
若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，
因为c2+1＞0，a＞b，∴＞，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
4．【分析】看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，A选项，f（x）的定义域{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0
【解答】解：∵对于A选项，f（x）的定义域{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，
选项C也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，
选项D 也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0，
故选：B．
【点评】本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．
5．【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解；根据二次函数的性质可知，y＝﹣（x﹣1）2，y＝﹣（x+1）2在区间[1，+∞）上为减函数，A，C不符合题意；
根据反比例函数的性质可知，y＝在区间[1，+∞）上为减函数，D 不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础试题．
6．【分析】关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，解得a范围，即可判断出结论．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，
解得：1＞a≥0，
∴a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
8．【分析】根据题意，分析可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，
则f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，
而f（x）＝|x﹣m|＝，在区间（m，+∞）上为增函数，
则有m≤﹣2，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．
9．【分析】若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．正确的密码中一定含有数字1，7．
【解答】解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．
若正确的密码中一定含有数字1，7，
而3，6在第1，2，3，4的位置都有，
根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理，考查了推理能力，属于中档题．
10．【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi（A）＝0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．
【解答】解：∵对于i∈N*，定义，
∴①例如A＝{正奇数}，B＝{正偶数}，∴A∩B＝∅，A∪B＝N*，∴φi（A∩B）＝0；φi（A∪B）＝1，故①正确；
②若φi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），则i∈A且i∉B，或i∈B且i∉A，或i∉A且i∉B；∴φi（A）•φi（B）＝0；
若φi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），则i∈A且i∈B；∴φi（A）•φi（B）＝1；
∴任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；正确，故②正确；
③例如：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，
当i＝2时，φi（A∪B）＝1；φi（A）＝1，φi（B）＝1；∴φi（A∪B）≠φi（A）+φi（B）；
故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；
故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（共5小题，共20分）
11．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
x2﹣2x＞0，解得：x＞2或x＜0，
故函数的定义域是（﹣∞，0）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
12．【分析】通过解方程组得到所求解集和元素个数．
【解答】解：解方程组得到：．
所以原方程组解集为{（1，1）}，
则解集的元素个数为1．
故答案是：1．
【点评】本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．
13．【分析】不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立⇔a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），由函数的单调性求得t（x）的范围得答案．
【解答】解：由不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，
得ax＞x2﹣2，即a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，
令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），该函数为增函数，则t（x）＜t（2）＝1．
可得a≥1．
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用函数单调性求最值，是基础题．
14．【分析】根据题意，对于第一空：由函数y＝f（x）的对应关系求出g（1）的值，结合f（x）的图象可得f（g（1））的值，对于第二空：分别将x＝1，2，3代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x．
【解答】解：根据题意，由f（x）的表格可得：g（1）＝3，则f（g（1））＝f（3）＝1，
当x＝1时，f[g（1）]＝1，g[f（1）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，
当x＝2时，f[g（2）]＝f（2）＝3，g[f（2）]＝g（3）＝1，满足f[g（x）]＞g[f（x）]，
当x＝3时f[g（3）]＝f（1）＝1，g[f（3）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，
故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，
故答案为1；2．
【点评】本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．
15．【分析】将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．
【解答】解：当x≤x1时，f（x）＝﹣a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝﹣（a+b）x+（ax1+bx2） 由图可知
当x1＜0＜x2时，f（x）＝a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝（a﹣b）x﹣ax1+bx2 由图可知
当x≥x2时，f（x）＝a（x﹣x1）+b（x﹣x2）＝（a+b）x﹣（ax1+bx2） 由图又可得出①②两式．
由 ①，①′两式可得a＝﹣b＞0，同时使得②，②′成立．
故答案为：a＞0且a+b＝0 （或a＝﹣b＞0）
【点评】本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力．
三、解答题（共5小题；共60分）
16．【分析】（1）先化简集合A，B，再根据A∩B＝∅，即可求得a的值．
（2）B⊆A，即B是A的子集，即可求得a的取值范围．
【解答】解：B＝{x|（x﹣a）[x﹣（a+3）]＜0}＝{x|a＜x＜a+3}，A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞5}，
（1）要使A∩B＝∅，则需满足下列不等式组，
解此不等式组得﹣1≤a≤2，
则实数a的取值范围为[﹣1，2]，
（2）要使B⊆A，即B是A的子集，
则需满足a+3＜﹣1或a＞5，
解得a＞5或a＜﹣4，
即a的取值范围是{a|a＞5或a＜﹣4}．
【点评】本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．
17．【分析】（1）由分母1﹣x2≠0，求出函数的定义域{x|x≠±1}；（2）证明：为了便于证明，先整理函数＝＝﹣1，然后利用函数单调性定义证明，设1＜x1＜x2，作差（x1）﹣f（x2）变形，直到容易判断符号为止，从而证明函数单调性．
【解答】解：（1）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}
（2）证明：整理函数＝＝﹣1，
设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝
∵1＜x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，1+x2＞0，1+x1＞0，x2+x1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
【点评】本题考查了分式函数求定义域的方法，利用函数单调性定义证明函数单调性，属于基础题．
18．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0和值域为[0，+∞），结合二次函数的性质可建立方程组求出a，b的值，进而可以求解，
（2）由（1）可得函数g（x）解析式，利用已知可得函数的对称轴在区间外，建立不等式即可求解，
（3）由已知函数是偶函数可得b＝0，进而可得函数F（x）的解析式，再假设m＞n，由已知可得m＞﹣n＞0，进而可得|m|＞|﹣n|，即可判断F（m）+F（n）与0的关系．
【解答】解：（1）由f（﹣1）＝0可得a﹣b+1＝0，
又函数的值域为[0，+∞），所以，解得a＝1，b＝2，
故函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2+2x+1；
（2）由（1）可得g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1，
对称轴为x＝，因为函数g（x）在区间[﹣2，2]上单调，
则有，解得k≥6或k≤﹣2，
故k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；
（3）大于零，理由如下：
因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝ax2+1，
则F（x）＝，
不妨设m＞n，则n＜0，由m+n＞0得m＞﹣n＞0，
所以|m|＞|﹣n|，又a＞0，
所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣（an2+1）＝a（m2﹣n2）＞0，
故F（m）+F（n）大于零．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与性质，考查了学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．【分析】（1）分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，结合一次函数分段写出P＝f（t）；根据二次函数的顶点式来写Q＝g（t）；
（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），然后分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，并利用配方法来求W的最大值．
【解答】解：（1）P＝f（t）＝，
Q＝g（t）＝（t﹣150）2+100，0＜t≤300．
（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），
若0＜t≤200，
W＝﹣t+300﹣（t﹣150）2﹣100
＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣50）2+100，
∴当t＝50时，纯收益W最大，为100元/102kg，
若200＜t≤300，
W＝2t﹣300﹣（t﹣150）2﹣100
＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣350）2+100，
∴当t＝300时，纯收益W最大，为87.5元/102kg，
综上所述，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市，西红柿的纯收益最大．
【点评】本题考查分段函数和二次函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，即要验证；
（2）函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；
（3）根据（1），（2）的结论对于当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．
【解答】解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，
当且仅当x2＝﹣x1时，有，
故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，
所以1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．
（2）当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；
当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，
都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，
故有或，
解得a≥1或a＜0或，
综上，a的取值范围是或a≥1．
（3）①当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为；
②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当I＝（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，
函数f（x）不存在“均值”．
①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为；
②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，
函数f（x）不存在“均值”．
【点评】此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．