2020年北京市首师大附中高考数学练习试卷（三）（4月份）

这是一份2020年北京市首师大附中高考数学练习试卷（三）（4月份），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{}C．{1，﹣1}D．{}
2．（4分）设命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p为（ ）
A．∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1B．∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣1
C．∀x∉（0，+∞），lnx＞x﹣1D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣1
3．（4分）已知复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）实数﹣•+lg4+2lg5的值为（ ）
A．2B．5C．10D．20
5．（4分）已知向量，满足||＝||＝1，且其夹角为θ，则“||＞1”是“θ∈（]”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（4分）若cs（﹣α）＝，则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
7．（4分）某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a，2017年的增长率为b，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi＝（ ）
A．0B．mC．2mD．4m
9．（4分）曲线C的方程为+＝2，若直线l：y＝kx+1﹣2k的曲线C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[，1]B．（，1）
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）
10．（4分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（ ）
A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关
C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝27，则数列{an}的前5项和S5＝ ．
12．（5分）若△ABC的面积为2，且A＝，则＝ ．
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，l与双曲线的渐近线分别交于A，B两点．若|AB|＝4，则p＝ ．
14．（5分）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值）
15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ．
①a的值可以为2；
②a的值可以为；
③a的值可以为2+．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）已知函数f（x）＝
（Ⅰ）写y＝f（x）的相邻两条对称轴的距离；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求a的最大值．
17．（14分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）
18．（15分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC中点，A1D⊥平面ABC，平面BB1D与棱A1C1交于点E，AA1＝AC，AB＝BC．
（Ⅰ）求证：B1B∥DE；
（Ⅱ）求证：AA1⊥BD；
（Ⅲ）若B1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求的值．
19．（14分）已知函数f（x）＝sinx+lnx﹣1．
（Ⅰ）求f（x）在点（，f（））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数f（x）在（0，2π）上的零点个数．
20．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．
21．（14分）设a，λ均是正整数，数列{an}满足：a1＝a，
（Ⅰ）若a3＝3，λ＝5，写出a1的值；
（Ⅱ）若a＝1，λ为给定的正奇数，求证：若an为奇数，则an≤λ；若an为偶数，则an≤2λ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：存在正整数n（n≥2），使得an＝1．
2020年北京市首师大附中高考数学练习试卷（三）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{}C．{1，﹣1}D．{}
【分析】若B⊆A，则m2＝1，即可求解满足条件的m
【解答】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，
若B⊆A，
则m2＝1
∴m＝1或m＝﹣1
实数m的取值集合为{1，﹣1}
故选：C．
2．（4分）设命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p为（ ）
A．∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1B．∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣1
C．∀x∉（0，+∞），lnx＞x﹣1D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣1
【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣1．
故选：D．
3．（4分）已知复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．
【解答】解：因为：复数＝＝+i．
故选：B．
4．（4分）实数﹣•+lg4+2lg5的值为（ ）
A．2B．5C．10D．20
【分析】把27写成33，对数式的真数写为2﹣3，然后运用指数式和对数式的运算性质化简求值．
【解答】解：＝．
故选：D．
5．（4分）已知向量，满足||＝||＝1，且其夹角为θ，则“||＞1”是“θ∈（]”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据条件，由即可得出，进而得出cs，又知0≤θ≤π，从而可得出，这便得出“||＞1”是“θ∈（]”的充分条件；反过来，由即可得出，进而得出，从而得出“||＞1”是“θ∈（]”必要条件，这样即得出“||＞1”是“θ∈（]”的充要条件．
【解答】解：∵，且其夹角为θ；
∴①由得：
；
∴；
又0≤θ≤π；
∴；
即；
∴是的充分条件；
②由得：
；
∴1﹣2csθ+1＞1；
∴；
∴；
∴是的必要条件；
综上得，“||＞1”是“θ∈（]”的充分必要条件．
故选：C．
6．（4分）若cs（﹣α）＝，则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α＝cs（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+csα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cs（﹣α）＝，
∴sin2α＝cs（﹣2α）＝cs2（﹣α）＝2cs2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，
法2°：∵cs（﹣α）＝（sinα+csα）＝，
∴（1+sin2α）＝，
∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，
故选：D．
7．（4分）某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a，2017年的增长率为b，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设该电商原2016年销售额1，这两年的平均增长率为x，由题意得（1+a）（1+b）＝（1+x）2，解方程可得．
【解答】解：设该电商原2016年销售额1，这两年的平均增长率为x，
由题意得（1+a）（1+b）＝（1+x）2，
解得x＝﹣1，
故选：D．
8．（4分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi＝（ ）
A．0B．mC．2mD．4m
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y＝|x2﹣2x﹣3|与 y＝f（x） 图象的交点关于直线x＝1对称，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与 y＝f（x） 图象的交点也关于直线x＝1对称，
故xi＝×2＝m，
故选：B．
9．（4分）曲线C的方程为+＝2，若直线l：y＝kx+1﹣2k的曲线C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[，1]B．（，1）
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）
【分析】曲线C表示线段AB：y＝0，（﹣1≤x≤1），求得直线l恒过定点（2，1），由直线的斜率公式计算即可得到所求范围．
【解答】解：方程+＝2表示的是
动点P（x，y）到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2，
即有P的轨迹为线段AB：y＝0，（﹣1≤x≤1），
直线l：y＝kx+1﹣2k为恒过定点C（2，1）的直线，
kAC＝＝，kBC＝＝1，
直线l：y＝kx+1﹣2k的曲线C有公共点，等价为
kAC≤k≤kBC，
即为≤k≤1．
故选：A．
10．（4分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（ ）
A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关
C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关
【分析】推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
【解答】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了m+n﹣1次，
任意两个精灵相碰，有三种情况：
第一种情况：红色+红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
第二种情况：蓝色+蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；
第三种情况：红色+蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；
根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，
也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．
开始时，蓝色精灵有n个，
当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；
当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．
∴游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与n的奇偶性有关．
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝27，则数列{an}的前5项和S5＝ 121 ．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得q×q2＝27，即q3＝27，解可得q＝3，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
又由a1＝1，a2a3＝27，则有q×q2＝27，即q3＝27，解可得q＝3，
则数列{an}的前5项和S5＝＝＝121；
故答案为：121．
12．（5分）若△ABC的面积为2，且A＝，则＝ 4 ．
【分析】由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin＝2，所以||||＝8，由平面向量的数量积运算：＝||||cs＝8×＝4，得解．
【解答】解：由△ABC的面积为2，
得：||×|×sin＝2，
所以||||＝8，
所以＝||||cs＝8×＝4，
故答案为：4．
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，l与双曲线的渐近线分别交于A，B两点．若|AB|＝4，则p＝ 8 ．
【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求得A，B的坐标，可得|AB|，解方程可得p的值．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，
双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
可得A（﹣，﹣），B（﹣，），
|AB|＝＝4，可得p＝8．
故答案为：8．
14．（5分）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值）
【分析】由题意画出一种满足条件的图形，求解表面积即可得答案．
【解答】解：由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，
如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长BC＝BD＝2，CD＝1．
其表面积为＝．
故其表面积的一个可能值为．
故答案为：．
15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ②③ ．
①a的值可以为2；
②a的值可以为；
③a的值可以为2+．
【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．
【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，
x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段
将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此
|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称
那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}
表示点集为正方形，
∵|xy|+1＝|x|+|y|
∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0
即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0
∴|x|＝1或|y|＝1
即x＝±1，y＝±1
B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，
A∩B为8个点，构成正八边形
①如图1，∠AOB＝45°
又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，
tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，
即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2
∵a＞0，∴a＝
②如图2，∠AOB＝45°
又A（a﹣1，1）
∴tan∠xOA＝，
tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，
即2a﹣2＝﹣2a+a2，
∴a2﹣4a+2＝0，
解得a＝2+或a＝2﹣（舍），
综上a＝或a＝2+．
故答案为：②③．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）已知函数f（x）＝
（Ⅰ）写y＝f（x）的相邻两条对称轴的距离；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求a的最大值．
【分析】（Ⅰ）展开两角差的正弦，降幂后再由辅助角公式化积，求得函数周期，则y＝f（x）的相邻两条对称轴的距离可求；
（Ⅱ）由x的范围求出相位的范围，再由集合思想方法列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵＝
＝＝．
∴函数f（x）的最小正周期．
则曲线y＝f（x）的相邻两条对称轴的距离为＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ．
当x∈[0，a]时，∈．
∵y＝sinx在上单调递增，且f（x）在[0，a]上单调递增，
∴⊆，
即，解得0．
故a的最大值为．
17．（14分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，由此估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．由此能求出事件C的概率．
（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．
【解答】（共13分）
解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，
估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，
A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，
A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，
B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，
B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，
则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．
所以P（C）＝P（A1B1∪A1B2∪A2B2）＝P（A1B1）+P（A1B2）+P（A2B2）＝P（A1）P（B1）+P（A1）P（B2）+P（A2）P（B2）．
由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为，，，．
故，，，，
所以事件C的概率P（C）＝＝0.2925．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
18．（15分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC中点，A1D⊥平面ABC，平面BB1D与棱A1C1交于点E，AA1＝AC，AB＝BC．
（Ⅰ）求证：B1B∥DE；
（Ⅱ）求证：AA1⊥BD；
（Ⅲ）若B1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求的值．
【分析】（Ⅰ）在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，可得B1B∥A1A．由线面平行的判定可得B1B∥平面A1ACC1．再由面面平行的性质可得B1B∥DE；
（Ⅱ）在△ABC中，由AB＝BC，D是AC的中点，可得BD⊥AC．由A1D⊥平面ABC，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设BD＝a，AD＝b，求出与的坐标，利用数量积为0即可证明AA1⊥BD；
（Ⅲ）求出及平面ABB1A1的法向量，结合B1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为可得a与b的关系，则的值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，
侧面 A1ABB1为平行四边形，
∴B1B∥A1A．
又∵B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，
∴B1B∥平面A1ACC1．
∵B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，
∴B1B∥DE；
（Ⅱ）证明：在△ABC中，∵AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC．
∵A1D⊥平面ABC，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．
设BD＝a，AD＝b，
在△AA1D中 AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，
∴，∴D（0，0，0），A（0，﹣b，0），，B（a，0，0）．
∴，．
∴，
∴AA1⊥BD；
（Ⅲ）解：∵，∴，即．
∵C（0，b，0），∴．
设平面ABB1A1的法向量为 ，
∵，即，
令z＝a，则，，
∴．
∵，
∴，即 4a4﹣13a2b2+9b4＝0，
∴a＝b或2a＝3b，即或．
19．（14分）已知函数f（x）＝sinx+lnx﹣1．
（Ⅰ）求f（x）在点（，f（））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数f（x）在（0，2π）上的零点个数．
【分析】（I）求出导数，写出切线方程；
（II）二次求导，判断f'（x）单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；
（III）lnx＝1﹣sinx，数形结合得出结论．
【解答】解：（I）f'（x）＝csx+，f（）＝1+ln＝ln，
f'（）＝，
故f（x）在点（，f（））处的切线方程为y﹣ln＝，
即：y＝；
（II）证明：f'（x）＝csx+，x∈（0，π）
f''（x）＝﹣sinx﹣＜0，故f'（x）在（0，π）递减，
又f'（）＝＞0，f'（π）＝﹣1+＜0，
由零点存在性定理，存在唯一一个零点m∈（），f'（m）＝csm+，
当x∈（0，m）时，f（x）递增；当x∈（m，π）时，f（x）递减，
故f（x）在（0，π）只有唯一的一个极大值；
（III）函数f（x）在（0，2π）有3个零点．
20．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；
（Ⅱ）设P（x0，y0），结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）在椭圆C：中，a＝2，b＝1，
所以，
故椭圆C的焦距为，离心率．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
则，故．
所以，
所以，．
又O（0，0），，故．
因此＝．
由，得，即x0•y0≤1，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
21．（14分）设a，λ均是正整数，数列{an}满足：a1＝a，
（Ⅰ）若a3＝3，λ＝5，写出a1的值；
（Ⅱ）若a＝1，λ为给定的正奇数，求证：若an为奇数，则an≤λ；若an为偶数，则an≤2λ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：存在正整数n（n≥2），使得an＝1．
【分析】（I）an+1＝，由此利用a1是奇数和a1是偶数两种情况进行分类讨论，由此能求出a1的值．
（II）当n＝1，2时，a1＝1为奇数，a1≤λ成立，a2＝1+λ为偶数，a2≤2λ；假设当n＝k时，若ak为奇数，则ak≤λ，若ak为偶数，则ak≤2λ．那么当n＝k+1时，若ak是奇数，则ak+1＝ak+λ是偶数，ak+1≤2λ；若ak是偶数，．由此能证明若an为奇数，则an≤λ；若an为偶数，则an≤2λ．
（III）{an}中总存在相等的两项．不妨设ar＝as（r＜s）是相等两项中角标最小的两项，推导出r＝1，则as＝a1＝1．由此能证明存在正整数n（n≥2），使得an＝1．
【解答】（共13分）
解：（I）∵a，λ均是正整数，数列{an}满足：a1＝a，
a3＝3，λ＝5，
∴an+1＝，
∴当a1是奇数时，a2＝a1+5是偶数，＝3，解得a1＝1；
当a1是偶数时，a2＝，
当a2＝是奇数时，，解得a1＝﹣4，不合题意；
当a2＝是偶数时，a3＝＝3，解得a1＝12．
综上，a1的值为1或12．……………………………………………………………………………（4分）
证明：（II）①当n＝1，2时，a1＝1为奇数，a1≤λ成立，a2＝1+λ为偶数，a2≤2λ．
②假设当n＝k时，若ak为奇数，则ak≤λ，若ak为偶数，则ak≤2λ．
那么当n＝k+1时，若ak是奇数，则ak+1＝ak+λ是偶数，ak+1≤2λ；
若ak是偶数，．
此时若ak+1是奇数，则满足ak+1≤λ，若ak+1是偶数，满足ak+1≤λ≤2λ．
即n＝k+1时结论也成立．
综上，若an为奇数，则an≤λ；若an为偶数，则an≤2λ．……………………（9分）
（III）由（II）知，{an}中总存在相等的两项．不妨设ar＝as（r＜s）是相等两项中角标最小
的两项，下证r＝1．假设r≥2．
①若ar＝as≤λ，由ar﹣1＞0，as﹣1＞0知ar和as均是由ar﹣1和as﹣1除以2得到，即有ar﹣1＝as﹣1，与r的最小性矛盾；
②若ar＝as＞λ，由ar﹣1≤2λ，as﹣1≤2λ知ar和as均是由ar﹣1和as﹣1加上λ得到，
即有ar﹣1＝as﹣1，与r的最小性矛盾；
综上，r＝1，则as＝a1＝1．
即若a＝1，λ是正奇数，则存在正整数n（n≥2），使得an＝1．…………（13分）
空气质量指数AQI
（0，100）
[100，200）
[200，300）
空气质量状况
优良
轻中度污染
重度污染
空气质量指数AQI
（0，100）
[100，200）
[200，300）
空气质量状况
优良
轻中度污染
重度污染