【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练37　抛物线的方程及性质的应用

限时小练37　抛物线的方程及性质的应用

1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝________.

答案　2

解析　∵F，

∴直线AB的方程为y＝x－，

将其与y2＝2px联立，消去y，

得x2－3px＋＝0.

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系知xA＋xB＝3p，xAxB＝.

|AB|＝＝4p＝8，

解得p＝2.

2.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________.

答案　

解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，

所以|AB|＝

＝

＝＝.

所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.

3.已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|.

解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).

(1)由题设得F，

故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，

由题设可得x1＋x2＝.

由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－.

从而－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

(2)由＝3可得y1＝－3y2.

由

可得y2－2y＋2t＝0.

所以y1＋y2＝2.

从而－3y2＋y2＝2，

故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝.

故|AB|＝.