【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件进阶训练8　(范围：4.1～4.3)

进阶训练8　(范围：4.1～4.3)

一、基础达标

1.(多选)若C＝C，则x的值为(　　)

A.4   B.5 

C.6   D.7

答案　AC

解析　因为C＝C，

所以2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝20，

解得x＝4或x＝6，故选AC.

2.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一.依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型.若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有(　　)

A.12种   B.6种

C.10种   D.9种

答案　D

解析　由题意，他的父母的血型都是A，B，O三种之一，

由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种).

3.若C＝C，则的值为(　　)

A.1   B.20 

C.35   D.7

答案　C

解析　若C＝C，

则

＝，

可得n＝7，

所以＝＝＝35.

4.有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有(　　)

A.72种   B.54种

C.48种   D.8种

答案　C

解析　第一步：先排每对师徒有A·A·A种排法，

第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种排法，

由分步乘法计数原理可知共有A·(A)3＝48(种)站法.

5.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有(　　)

A.56种   B.28种 

C.21种   D.14种

答案　D

解析　分三类：

当取a1，a2时，再取退烧药有C种方案；

取a3时，取另一种消炎药的方法有C种，

再取退烧药有C种，共有CC种方案；

取a4，a5时，再取退烧药有C种方案.

故共有C＋CC＋C＝14(种)不同的实验方案.

6.小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有__________种.

答案　4

解析　设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，

则组合为(AC，BD)与(AD，BC).

若AC选甲学校，则BD选乙学校，

若AC选乙学校，则BD选甲学校；

若AD选甲学校，则BC选乙学校，

若AD选乙学校，则BC选甲学校.故共有4种方法.

7.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是__________.

答案　126

解析　按从事司机工作的人数进行分类：

①有1人从事司机工作：CCA＝108(种)；

②有2人从事司机工作：C·A＝18(种).

故不同安排方案的种数是108＋18＝126.

8.连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体.

答案　12

解析　从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C种方法，

其中4个点共面的有3种情况，

故可以组成C－3＝12(个)四面体.

9.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：

(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？

(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？

(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？

解　(1)有A＝120(种)不同的方法.

(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，

故有AAA＝24(种)不同的方法.

(3)按人数分配方式分类：

①分成3，1，1三组，有·A＝60(种)方法；

②分成2，2，1三组，有·A＝90(种)方法.

故共有60＋90＝150(种)分配方法.

10.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：

(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？

(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？

解　(1)分步完成：

第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况.

第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况.

第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A种情况.

所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800(个).

(2)在上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400(个).

(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760(个).

(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有C·C·A·A＝28 800(个).

二、能力提升

11.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是(　　)

A.120   B.204 

C.168   D.216

答案　B

解析　由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，

当数字不含0时，从1到9这9个数字中选三个，

则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，

当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，

根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.

12.将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为__________；恰有一个空盒子的方法数为__________.

答案　35　175

解析　先把8个相同的小球排成一行，然后在小球之间7个空隙中任选4个空隙各插一块隔板，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故有C＝35(种)方法.

若恰有一个空盒子，插板分两步进行，先将首尾两球外侧各放置一块隔板，并在7个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，有C种插法，故共有C·C＝175(种)方法.

13.4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？

解　本题分两种情况讨论.

(1)4位同学中有2人选甲，2人选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错.有CAA＝24(种)不同的情况.

(2)4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有CCC＝12(种)不同的情况.

综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况.

三、创新拓展

14.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一测试，直至找出所有4件次品为止.

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，

再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，

再排余下4件的测试位置，有A种测法.

所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680(种).

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A·(C·C)A＝576(种).