2023届高考数学一轮复习精选用卷 单元质量测试（四）+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 单元质量测试（四）+答案解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质量测试(四)

　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝(　　)
A．5 B. C. D.
答案　C
解析　由＝i，得2z＝i－iz，则z＝＝＝＋i，所以|z|＝＝.故选C.
2．(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)已知i是虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　z＝＝＝，复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选D.
3．(2022·四川成都市高三期末)在△ABC中，点D在BC边上，且＝3，则(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
答案　B
解析　如图，因为＝3，所以＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋.故选B.


4．设a∈R＋，复数z＝，若|z|＝1，则a＝(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
答案　D
解析　＝
＝＝＝1，解得a＝7.故选D.
5．(2021·山东泰安肥城模拟)已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　易知BC＝4AD，CE＝2AD，AD∥CE，所以△ADM∽△ECM，所以＝＝，所以＝，所以＝－＝－＝(＋)－＝(＋6)－＝－＋2，所以x＋y＝－＋2＝.故选C.


6．(2021·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.因为c＝a＋b，所以|c|＝|a＋b|＝ ＝＝3.
所以cos〈a，c〉＝＝＝＝，
所以sin〈a，c〉＝＝.故选B.
7．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且＋＋2＝0，则△AOB的面积是(　　)
A．4 B. C. D．2
答案　D
解析　根据题意，设AB的中点为D，连接CD，则＋＝2，又＋＋2＝0，则＝－，则O是CD的中点，又△ABC是边长为4的等边三角形，则CD⊥AB，AD＝2，CD＝2，则OD＝，则S△AOB＝×4×＝2.故选D.


8．(2021·湖湘名校教育联合体高三入学考试)已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面上一点，满足·(＋＋)＝0，则||的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(1－x，－y)，＝(1－x,1－y)，＝(－x,1－y)，故＋＋＝(2－3x,2－3y)，∴由已知得，(－x)(2－3x)＋(－y)(2－3y)＝0，即2＋2＝2，∴点P在以M为圆心，r＝为半径的圆上．又||表示圆上的点到点D的距离，∴||min＝|DM|－r＝－＝.故选A.



二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z满足z2＋2|z|＝0，则z可能为(　　)
A．0 B．－2 C．2i D．－2i
答案　ACD
解析　令z＝a＋bi(a，b∈R)，代入z2＋2|z|＝0，得a2－b2＋2＋2abi＝0，则解得或或所以z＝0或z＝2i或z＝－2i.
10．(2021·湖南长沙长郡中学模拟)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　)
A．|z|＝
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
答案　ABD
解析　因为z＝＝＝＝－1－i，所以|z|＝，A为真命题；z2＝2i，B为真命题；z的共轭复数为－1＋i，C为假命题；z的虚部为－1，D为真命题．故选ABD.
11. 如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)．以下结论中正确的是(　　)

A．当x＝0时，y∈[2,3]
B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x－y的最大值为－1
答案　BCD
解析　当＝y时，根据共线向量的充要条件得P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)＝2＋(－)＝－＋，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是线段BC，故C正确；当P与B重合时，x－y能取得最大值，此时x＝0，y＝1，x－y＝－1，故D正确．故选BCD.
12．(2021·山东济南高三联考)已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　)
A.∥ B.＝＋
C.·>0 D．S＝4
答案　BD
解析　由＋2＝0，＝2，可知点P为AC靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示．对于A，点P为AC靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确；对于C，·＝||||cosπ＝－||||0，y>0)，则的最大值为________．

答案　
解析　∵＝＋，∴＝＋，∴＝x＋y＝x＋y＝x＋，∵B，F，D三点共线，∴x＋＋y＝1⇒2y＝2－3x，∴＝＝≤，∴≤，当且仅当4y＝，即y＝，x＝时取等号．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(2021·定远县民族学校高三调研考试)(本小题满分10分)已知A(1，2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求z1，z2；
(2)若|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，求a，b的值．
解　(1)∵＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，
所以z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，
所以z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
又z1＋z2＝1＋i，
∴∴
∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i.
(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，
∵|z1＋z2|＝2，z1－z2为实数，
∴∴
18．(2021·河北省保定模拟)(本小题满分12分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，且b＝(2,1)．
(1)若|a|＝2，且b∥a，求a；
(2)若c＝(－2,1)，且b＋λc与λb－c互相垂直，求λ.
解　(1)设a＝(x，y)，依题意得
解得或
即a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．
(2)因为b＋λc＝(2,1)＋(－2λ，λ)＝(2－2λ，1＋λ)，
λb－c＝(2λ，λ)－(－2,1)＝(2λ＋2，λ－1)，
因为b＋λc与λb－c互相垂直，所以(b＋λc)·(λb－c)＝0，
即4(1－λ)(1＋λ)＋(1＋λ)(λ－1)＝0，
所以3(1－λ)(1＋λ)＝0，解得λ＝1或－1.
19．(2022·湖北高三月考)(本小题满分12分)已知a∈R，b∈R，方程x2＋ax＋b＝0的一个根为1－i，复数z1＝a＋bi，z2满足|z2|＝4.
(1)求复数1；
(2)若1·z2>0，求复数z2.
解　(1)依题意，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝0，即(a＋b)＋(－2－a)i＝0，
由复数相等的定义及a，b∈R，得
解得
故复数1＝a－bi＝－2－2i.
(2)设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z2|＝4，得x2＋y2＝16，
1·z2＝(－2－2i)(x＋yi)
＝(－2x＋2y)－(2x＋2y)i，
由1·z2>0，得即
所以解得
所以z2＝－2＋2i.
20. (2022·广东珠海高三质量检测)(本小题满分12分)已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r.

(1)若＋2＋ ＝0，试求∠BOC的大小；
(2)若A为动点，∠BAC＝，＝λ＋μ，试求λ＋μ的最大值．
解　(1)∵＋2＋＝0，
∴＝2＋，
∴2＝(2＋，
∵AO＝OB＝OC＝r，
∴r2＝4r2＋2×2×r2×cos∠BOC＋3r2，
解得cos∠BOC＝－，
又∠BOC∈(0，π)，∴∠BOC＝.
(2)∵∠BAC＝，∴∠BOC＝，
∵＝λ＋μ，
∴2＝(λ＋μ)2，
∴r2＝λ2r2＋2λμr2cos＋μ2r2，
∴λ2＋μ2＝λμ＋1，
根据题意，可知λ>0，μ>0，
∴(λ＋μ)2＝3λμ＋1≤3·＋1(当且仅当λ＝μ时等号成立)，
∴(λ＋μ)2≤4，∴0