2023届高考数学一轮复习精选用卷 单元质量测试（六）+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 单元质量测试（六）+答案解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质量测试(六)

　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
答案　C
解析　如图所示，将斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．

2．(2021·海南第二次模拟)用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为(　　)
A．16π B．32π
C.36π D．48π
答案　C
解析　设球的半径为R，则题中圆锥体积V＝×1×(R2－1)π＝，解得R＝3，故球的表面积为4πR2＝36π.故选C.
3. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，则下列结论不正确的是(　　)

A．PD∥平面AMC B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
答案　D
解析　因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，因为M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA，故A，B，C正确．因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交，故D不正确．故选D.
4．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)

A. B．
C. D．
答案　D
解析　如图，取BC的中点H，连接EH，AH，则∠EHA＝90°.设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD，在△EAD中，cos∠EAD＝＝.故选D.

5．(2021·湖北武汉模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为(　　)
A．6 B．3
C.3 D．3
答案　B
解析　如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O1，O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OA＝R，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，

则OO2＝h，O2A＝×AB＝a，则在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO＋O2A2＝h2＋a2≥2×h×a＝ah，当且仅当h＝a时，等号成立，所以S球＝4πR2≥4π×ah，所以ah＝4π，所以ah＝，所以该三棱柱的侧面积为3ah＝3.故选B.
6．在正四棱锥P－ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD是正方形，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是(　　)
A．4 B．2
C. D．
答案　D
解析　如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接PO，OE，因为O，E分别是AC和PC的中点，所以OE∥PA，OE＝PA＝1，

则∠BEO或其补角即为异面直线PA与BE所成的角．因为底面ABCD是正方形，所以BO⊥AC，又PO⊥BO，PO∩AC＝O，所以BO⊥平面PAC，则BO⊥OE，所以∠BEO＝45°，所以△BOE是等腰直角三角形，所以BO＝OE＝1，PO＝＝，BC＝，则四棱锥P－ABCD的体积V＝×()2×＝.故选D.
7．(2021·河北高三4月模拟)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为R的球面上，且∠BAC＝，BC＝2，若三棱锥P－ABC体积的最大值为R，则该球的表面积为(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　如图，△ABC外接圆的半径为＝，当△ABC为正三角形(△ABC的面积最大)且P，O，O1(O，O1分别为三棱锥P－ABC外接球的球心和△ABC外接圆的圆心)三点共线时，三棱锥的体积最大．

此时VP－ABC＝S△ABC(R＋OO1)＝(R＋OO1)＝R，所以OO1＝R.在Rt△OO1A中，由R2＝OO＋2，得R2＝，故该球的表面积为.故选A.
8．(2019·浙江高考)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则(　　)
A．β