【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件章末检测卷（四）

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章末检测卷(四)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若A＝2A，则m的值为(　　)A.5    B.3  C.6   D.7答案　A解析　依题意得＝2·，化简得(m－3)(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)A.C   B.CC.C   D.(－1)m－1C答案　D解析　(x－y)n的二项展开式中第m项为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C(－1)m－1.3.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有(　　)A.36个   B.24个C.18个   D.6个答案　A解析　因为三位数中，各数位之和为偶数，则三位数中，两奇一偶，所以CCA＝36个.故选A.4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有(　　)A.A种   B.AA种C.CA种   D.CCA种答案　C解析　先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种分配方案.5.若(n∈N＋)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)A.210   B.252  C.462   D.10答案　A解析　由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx30－5k.令30－5k＝0，得k＝6，于是得其常数项为C＝210.6.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)A.－   B.－C.－   D.－1答案　A解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.故＝－.7.八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八类，每类又包括若干种乐器.现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)”2种乐器；“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有(　　)A.24种   B.72种  C.144种   D.288种答案　C解析　从三类乐器中选一种有CCC＝24(种)选法，三种乐器分配给三位同学演奏有A＝6种方法，因此所求分配方案数为24×6＝144.故选C.8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图.现在提供5种颜色给5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(　　)A.120   B.26  C.340   D.420答案　D解析　如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：①区域A有5种颜色可选；②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择.综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种).二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为(　　)A.A－A   B.A－CAC.CCA   D.A答案　BCD解析　间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为A－CA.直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有C＝2种站法，其余三名学生任意排列有A＝6种排法，则不同站法共有2×6＝12(种).或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占，故有A，故选BCD.10.男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生可以有(　　)A.2人   B.3人  C.4人   D.5人答案　AB解析　设男生有x人，则女生有(8－x)人.∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴C·C＝30，∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3，∴女生有2人或3人.11.已知(a＋x)(1＋)5展开式的所有项系数之和为96，则下列说法正确的是(　　)A.a＝1B.a＝2C.(a＋x)(1＋)5展开式中x2项的系数为10D.(a＋x)(1＋)5展开式中x2项的系数为20答案　BD解析　由已知，令x＝1可得，(a＋1)×25＝96，解得a＝2，故A错误，B正确，因为二项式(1＋)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()r＝Cx，(2＋x)(1＋)5的含x2项为2×Cx2与x·Cx，则系数为2C＋C＝20，故C错误，D正确.12.为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲，乙，丙，丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是(　　)A.若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B.共有64种不同的安排方法C.若甲、乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D.若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法答案　AD解析　对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有C(24－2)＝42种选取方法，A正确；对于B，安排甲、乙、丙、丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3＝81种安排方法，B错误；对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲、乙在同一组，有1种分组方法，则甲、乙所在的组不能去A地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A＝2种情况，此时有2×2＝4种安排方法；若甲、乙不在同一组，有C－1＝5种分组方法，若甲、乙两人不能去A地，只能安排没有甲、乙的1组去A地，甲、乙所在的两组安排到B、C两地，有A＝2种情况，此时有5×2＝10种安排方法，则一共有4＋10＝14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入2个挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C＝171种安排方法；故选AD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.答案　240解析　分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法.由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种).14.已知(1＋2x)n的展开式的二项式系数之和为16，则n＝________；x4的系数为________(用数字作答).答案　4　16解析　由题意可得：展开式中的二项式系数的和是2n＝16，所以n＝4，(1＋2x)4展开式的通项为Tk＋1＝C14－k(2x)k＝C·2kxk，令k＝4可得T5＝C·24x4＝16x4，所以x4的系数为16.15.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种.答案　30解析　先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法.故共有6×(1＋4)＝30(种)放法.16.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是________.答案　2解析　(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由下两部分相加得到：①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3；②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，即Cx3×(－1)＝－4x3.所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项.解　二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2k)x，由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的倍，∴解得n＝7.∴展开式中二项式系数最大的项是T4＝C(2)3＝280x或T5＝C(2)4＝560x2.18.(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数.(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.解　(1)1，2，3，4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.(2)需要考查5个数中相同数的个数.若5个数各不相同，有A＝120(个)；若有2个数相同，则有＝60(个)；若有3个数相同，则有＝20(个)；若有4个数相同，则有＝5(个)；若5个数全相同，则有1个.故共有206个再生数.19.(12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.(1)A，B必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.解　(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生.所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务.根据分步乘法计数原理，所有选法数为C·C·A＝25 200.20.(12分)在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式中的前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64；条件③：展开式中常数项为第三项.问题：已知二项式，若________(填写条件的序号，若是选择多个方案，就按照选择的第一个方案解答给予计分)，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中所有的有理项.解　选①：由C＋C＋C＝22得n＝6(负值舍去)；选②：由C＋C＋C＋…＋C－0＝2n＝64，得n＝6；选③：设第r＋1项为常数项，Tr＋1＝C(－1)rx，由r＝2及＝0得n＝6.(1)由n＝6得展开式的二项式系数最大为C，则二项式系数最大项为T4＝C(－1)3x－＝－20x－.(2)设第r＋1项为有理项，由Tr＋1＝C(－1)rx，因为0≤r≤6，r∈N，所以r＝0，2，4，6，则有理项为T1＝Cx3＝x3，T3＝Cx0＝15，T5＝Cx－3＝15x－3，T7＝Cx－6＝x－6.21.(12分)盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.(1)全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？(2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？(3)若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解　(1)首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有AA＝14 400(种).(2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类；1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有CC＋CC＋CC＝28(种).(3)从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有C＋CC＋CC＋CC＝56(种).22.(12分)已知的展开式的二项式系数之和为256.(1)求n的值；(2)若展开式中常数项为，求m的值；(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.解　(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第k＋1项，则Tk＋1＝Cx8－k＝Cmkx8－2k，令8－2k＝0，即k＝4，则Cm4＝，解得m＝±.(3)易知m＞0，设第k＋1项系数最大，则化简可得≤k≤.由于只有第6项和第7项系数最大，所以即所以m＝2.