【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件章末检测卷(四)

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章末检测卷(四)
(时间：120分钟　满分：150分)
第4章 数列
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 023，则序号n等于(　　) A.667 B.668 C.669 D.675
D
解析　由2 023＝1＋3(n－1)，解得n＝675.
2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝12－a7，则a1＋a9＝(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 解析　由a3＋a5＝12－a7，得a3＋a5＋a7＝12＝3a5，即a5＝4，故a1＋a9＝2a5＝8.
A
3.已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝(　　) A.398 B.388 C.189 D.199
C
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是(　　) A.81 B.120 C.168 D.192
B
5.已知圆O的半径为5，OP＝3，过点P的2 021条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 021，则其公差为(　　)
B
6.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝10，{an＋1－an}是等比数列，则数列{an}的前8项和S8等于(　　) A.376 B.382 C.749 D.766
C
解析　由已知得，a2－a1＝3，a3－a2＝6，而{an＋1－an}是等比数列，故q＝2，
∴an－a1＝3×2n－1－3，∴an＝3×2n－1－2.
D
8.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为(　　) A.辛丑年 B.庚子年 C.己亥年 D.戊戌年
B
解析　由题意，可得天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，100÷10＝10余数为0，则2080年天干为庚，100÷12＝8余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　) A.a10>0 B.当n＝9时，Sn最大 C.S17>0 D.S19>0
BC
解析　由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S 19＝19a10<0，故BC正确.
10.已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
AD
11.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　) A.a4＝0 B.Sn的最大值为S3 C.S1＝S6 D.|a3|<|a5|
AC
解析　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确.故选AC.
AC
解析　因为{an}为“阶梯数列”，由a1＝a4＝1，可得a2＝a5，a3＝a6，a4＝a7，a5＝a8，a6＝a9，…，观察可得a1＝a4＝a7＝…＝a3n－2＝…(n∈N*)，a2＝a5＝a8＝…＝a3n－1＝…(n∈N*)，a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝…(n∈N*)，
即数列{an}以3为周期，
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a4＝________，前8项的和S8＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
8
255
解析　由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，可知数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列，故a4＝8，S8＝255.
14.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
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15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 022这2 022个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________.
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16.将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)， (27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是________.
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四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
解　设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
18.(12分)已知数列{an} 为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0. (1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式.
解　设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此bn＝b1·qn－1＝(－8)×3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.
解　由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
21.(12分)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn；
解　设等比数列{bn}的公比为q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.
整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)或n＝4.所以n的值为4.
22.(12分)某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏，共有15关，每过一关可以得到一定的积分，现有三种积分方案供闯关者选择.方案一：每闯过一关均可获得40积分；方案二：闯过第一关可获得5积分，后面每关的积分都比前一关多5；方案三：闯过第一关可获得0.5积分，后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏，最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(1≤n≤15且n∈N*)关后的积分之和分别为An，Bn，Cn，要求闯关者在开始前要选择积分方案.
(1)求出An，Bn，Cn的表达式；
解　按方案一闯过各关所得积分构成常数数列，故An＝40n；
(2)为获得尽量多的积分，如果你是一个闯关者，试分析这几种积分方案该如何选择？小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关，则他应该选择第几种积分方案？
解得0解得0Cn；当10≤n≤15，An故当能闯过的关数小于10时，应选择方案一；当能闯过的关数大于等于10时，应选择方案三.小明应该选择方案三.