【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　集合中的创新问题

培优课　集合中的创新问题

集合中的创新问题主要体现在：(1)集合中的新定义问题；(2)集合中的新运算问题；(3)集合中的新性质问题.对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点.此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托.解决集合中的创新问题的着手点：(1)正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；(2)合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来排除.

类型一　创新集合新定义

例1 (1)若集合A具有以下性质：

①0∈A，1∈A；

②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.

则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

其中，正确说法的个数是(　　)

A.0   B.1 

C.2   D.3

(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”.则下列说法中正确的是(　　)

A.{1，3，4}为“权集”

B.{1，2，3，6}为“权集”

C.“权集”中元素可以有0

D.“权集”中一定有元素1

答案　(1)C　(2)B

解析　(1)①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B这与－2∈B矛盾；②有理数集Q是“好集”.因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.

(2)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误.

类型二　创新集合新运算

例2 (1)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　)

A.8   B.7 

C.16   D.15

(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)

A.15   B.16 

C.20   D.21

答案　(1)B　(2)D

解析　(1)由题意A＝{，}，B＝{1，}，则A⊗B有(＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝0，(＋1)(－1)＝2，(＋)(－)＝1四种结果，由集合中元素互异性可知集合A⊗B中有3个元素，故集合A⊗B中的真子集个数为23－1＝7.

(2)由题意A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，

故当x1＝0时，x2＝1，3，此时x＝1，3；

当x1＝1时，x2＝1，3，此时x＝2，4；

当x1＝2时，x2＝1，3，此时x＝3，5；

当x1＝3时，x2＝1，3，此时x＝4，6.

由集合元素互异性可知

A*B＝{1，2，3，4，5，6}，故所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.

类型三　创新集合新性质

例3 若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.

则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；

②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；

③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}.

其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________.

答案　②④

解析　①因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的定义.