【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　破解“恒成立”、“能成立”问题

培优课　破解“恒成立”、“能成立”问题

函数与不等式的恒成立、能成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题.为了准确地快速解决这类问题，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.

类型一　“Δ”法解决恒成立问题

例1 已知不等式kx2＋2kx－(k－2)＞0恒成立，求实数k的取值范围.

解　当k＝0时，原不等式化为2＞0，显然符合题意.

当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k－2)，

由y＞0恒成立，

∴其图象都在x轴的上方，

即开口向上，且与x轴无交点.

∴解得0＜k＜1.

综上，实数k的取值范围为{k|0≤k＜1}.

类型二　数形结合法解决恒成立问题

例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.

解　令y＝x2＋mx＋4.

∵当1≤x≤2时，y＜0恒成立，

∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.

画出二次函数y＝x2＋mx＋4的图象如图，

得

∴∴m<－5.

∴m的取值范围是{m|m＜－5}.

类型三　分离参数法解决恒成立问题

例3 设函数y＝mx2－2mx＋1，2≤x≤3，若y＞－3m＋7恒成立，求实数m的取值范围.

解　y＞－3m＋7(2≤x≤3)恒成立，

即m(x2－2x＋3)－6＞0(2≤x≤3)恒成立，

∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，

又m(x2－2x＋3)－6＞0，

∴m＞(2≤x≤3).

∵f(x)＝＝在2≤x≤3上的最大值为2，

∴只需m＞2即可.

故m的取值范围为(2，＋∞).

类型四　主参换位法解决恒成立问题

例4 已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围.

解　由y＜0，得mx2－mx－6＋m＜0，

即(x2－x＋1)m－6＜0.

∵1≤m≤3，∴x2－x＋1＜恒成立，

∴x2－x＋1＜，∴x2－x－1＜0，

∴＜x＜.

∴x的取值范围为.

类型五　利用图象解决能成立问题

例5 当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为________.

答案　(－5，＋∞)

解析　法一　当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＞0有解的反面为当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4≤0恒成立.

令y＝x2＋mx＋4，

∴

∴m≤－5，∴使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＞0有解的m的取值范围为(－5，＋∞).

法二　此题也可转化为

mx＞－x2－4即m＞－x－

＝－在1＜x＜2时有解，

即∃x∈(1，2)，使m＞－成立.

令y＝－，只须求y的最小值即可，

显然x＝1时，ymin＝－5，∴m＞－5，

即m的取值范围为(－5，＋∞).

类型六　转化为函数的最值解决能成立问题

例6 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围.

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，

∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，

∴m≥2x2－8x＋6能成立，

又y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，

∴m≥－2，

∴m的取值范围为{m|m≥－2}.