初中28.2 过三点的圆教学设计

28.2过三点的圆

教学目标

【知识与能力】

1.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念.

2.理解“不在同一条直线上的三点确定一个圆”.

3.能熟练掌握应用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法.

【过程与方法】

1.通过独立思考、动手操作、合作交流等数学活动,不断积累数学活动的经验,提高学生动手操作的能力,体会转化、数形结合思想在数学中的应用.

2.通过学生自己动手作图,在动手参与的过程中探索、发现科学知识,进一步提高学生动手操作的积极性,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.

【情感态度价值观】

1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题和解决数学问题的兴趣和欲望.

2.通过小组合作交流,学会与他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.

3.增强学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣,培养学生永无止境的科学探索精神.教学重难点

【教学重点】

“过不在同一条直线上的三点作圆”的方法.

【教学难点】  

如何确定圆的思维过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.根据圆的定义,确定圆的两个基本要素是什么?

2.如何用尺规作图作线段的垂直平分线?

3.线段垂直平分线有什么性质?

4.三角形三边的垂直平分线的交点有几个?交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系?

导入二:

一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗?

　　[过渡语]　要画出圆就要找到圆心和半径,怎样找到圆心和半径,我们学习了这节课后就会找到答案.

[设计意图]　通过提问,既复习了前面的知识,又使学生进入了状态,为本节课的学习做好铺垫.由生活实例导入新课,激发学生的求知欲望,让每个学生都迅速进入积极思维的状态.

二、新知构建：

　　[过渡语]　两点能够确定一条直线.那么,两个点能确定一个圆吗?三个点呢?让我们一起探究这些问题!

共同探究　不在同一条直线上的三点确定一个圆

思路一

【课件展示】

动手操作,并思考回答:

1.作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?

(圆心和半径的位置不定,可以作出无数个圆)

2.平面上有两点A,B,过点A,B的圆有多少个?这些圆的圆心到点A,B的距离具有怎样的关系?圆心是否在线段AB的垂直平分线上?

(过两点A,B的圆有无数个,这些圆的圆心到点A,B的距离相等,它们的圆心在线段AB的垂直平分线上)

【师生活动】　学生独立思考、动手画图,小组合作交流,针对2教师引导:圆上的点到圆心的距离相等,确定圆心的位置时,使它到点A,B的距离相等,圆心在线段AB的垂直平分线上.学生黑板上作图,教师进行点评.

3.平面上三点A,B,C不在一条直线上.过点A,B,C的圆是否存在?如果存在,这样的圆有多少个?你能确定经过A,B,C三点的圆的圆心及半径吗?

(存在,只有一个,分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,圆心到其中一点的距离就是半径)

4.如果平面上三点A,B,C在一条直线上,经过A,B,C的圆是否存在?为什么?

(不存在,因为线段AB,BC的垂直平分线平行,没有交点)

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师巡视中帮助有困难的学生,对有困难的学生引导分析,所求的圆要经过A,B,C三点,所以圆心到这三点的距离相等,因此这个点要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上.教师对学生的回答进行点评纠正,师生共同归纳结论,然后课件展示.

【课件展示】

如图(1)所示,过平面内一点A,有无数多个圆,圆心的位置和半径的大小不确定.

如图(2)所示,过平面内两点A,B,有无数多个圆,这些圆的圆心到A,B两点的距离相等,即圆心在线段AB的垂直平分线上.

如图(3)所示,过平面内不共线的三点A,B,C,有且只有一个圆,圆心到A,B,C三点的距离相等,即圆心为线段AB,BC的垂直平分线的交点.

过同一条直线上的三点的圆不存在.

思路二

【课件展示】

教师引导学生思考、操作:

1.确定一个圆需要　　　　、　　　　两个元素,过平面内点A,你能作出　　　　个圆. 

2.画出过平面上一点A的圆.

3.圆心到圆上两点A,B的距离　　　　,所以圆心在线段AB的　　　　,则过平面上两点A,B有　　　　个圆. 

4.画出过平面上A,B两点的圆.

5.圆心到圆上两点B,C的距离　　　　,所以圆心在线段BC的　　　　,则过平面上不共线的三点A,B,C有　　　　个圆,圆心是　　　　,半径是　　　　. 

6.如果平面上三点A,B,C在一条直线上,经过A,B,C的圆是否存在?为什么?

(不存在,因为线段AB,BC的垂直平分线平行,没有交点)

【师生活动】　教师引导学生思考、回答,对学生的回答进行点评、归纳,师生共同完成两个画图,课件展示结论和图形.

【课件展示】

如图(1)所示,过平面内一点A,有无数多个圆,圆心的位置和半径的大小不确定.

如图(2)所示,过平面内两点A,B,有无数多个圆,这些圆的圆心到A,B两点的距离相等,即圆心在线段AB的垂直平分线上.

如图(3)所示,过平面内不共线的三点A,B,C,有且只有一个圆,圆心到A,B,C三点的距离相等,即圆心是线段AB,BC的垂直平分线的交点.

过同一条直线上的三点的圆不存在.

[设计意图]　通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳结论,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生的数学思维能力和归纳总结能力,同时掌握把实际问题抽象转化为数学问题的重要思路.

做一做:

如图所示,过不在同一条直线上的三点A,B,C画圆.

【师生活动】　教师给学生足够的时间动手操作,然后小组交流答案,小组代表板书过程(或教师课件动画展示画图过程),并做出点评.

【课件展示】

作法:如图所示.

1.分别连接AB,BC;

2.分别作出线段AB,BC的垂直平分线l1和l2,设它们的交点为O,则OA=OB=OC;

3.以点O为圆心,OA(或OB,OC)为半径作圆,则☉O即为所作的圆.

结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆.

[设计意图]　通过动手操作,引导学生进一步认识“过不在同一条直线上的三点只能画出一个圆”这一事实,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学的严谨性.

例题讲解

　(教材151页例)用尺规作过三角形三个顶点的圆.

已知:如图所示,△ABC.

求作:☉O,使它过三点A,B,C.

【师生活动】　学生独立完成作图过程,学生展示回答作图过程,并完成板书,教师课件展示作法,规范学生的几何语言,并归纳三角形的外接圆的概念.

【课件展示】

作法:如图所示.

(1)分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2.设l1与l2相交于点O.

(2)以点O为圆心,OA为半径画圆.

☉O即为所求.

我们把经过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心.

【思考】

1.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离有什么关系?

2.钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的外心在什么位置?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,学生回答问题,教师点评归纳.

[设计意图]　通过动手操作、思考交流,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学的严谨性,让学生经历知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力和数学思维.

　(节前导入情境)一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗?

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,共同完成确定圆心的过程,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的展示点评,并归纳已知一段弧,作所在圆的圆心的方法.

结论:

在残缺的圆上(或弧上)任意选取三点,确定过这三点的圆心就是所在圆的圆心.

[设计意图]　学生通过独立思考、合作交流完成节前导入生活情境,做到整节课首尾呼应,让学生体会数学在实际生活中的应用,巩固作三角形的外接圆的方法,同时培养学生的合作精神以及数学的应用意识.

[知识拓展]　

1.经过同一条直线上的三个点不能作圆,要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同一直线上,故“过三点有且只有一个圆”这种说法是错误的.

2.“确定”一词是指不仅能作出一个圆,而且只能作出一个圆,即“有且只有”的意思.

3.任意一个三角形都有且只有一个外接圆.

4.三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心,它还是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形各个顶点的距离相等.

5.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.

三、课堂小结：

1.过平面内一点有无数多个圆.

2.过平面内两点有无数多个圆,圆心在线段的垂直平分线上.

3.作三角形的外接圆.

4.不在同一条直线上的三点确定一个圆.