高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数习题ppt课件

培优课　幂函数单调性的三个常见应用

利用幂函数单调性可以比较幂值大小、求参数、解不等式，下面就这三个常见应用通过例题加以剖析.

1.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法

2.利用幂函数的单调性解不等式的步骤

利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性等综合命题，求解步骤如下：

(1)确定可以利用的幂函数；

(2)借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；

(3)解不等式(组)求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.

类型一　比较幂值的大小

例1 比较下列各组数的大小：

(1)，；

(2)3－，3.1－；

(3)4.1，3.8－，(－1.9).

解　(1)∵幂函数y＝x0.2在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴>.

(2)∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，∴3－>3.1－.

(3)∵函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，

y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，

∴4.1>1＝1，0<3.8－<1－＝1.

又(－1.9)<0，∴(－1.9)－<3.8－<4.1.

类型二　已知单调性求参数

例2 若幂函数y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为(　　)

A.1或3    B.3

C.2    D.1

答案　D

解析　∵y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8为幂函数，

∴m2－4m＋4＝1，即(m－1)(m－3)＝0，

∴m＝1或m＝3.

当m＝1时，m2－6m＋8＝3，

则y＝x3在(0，＋∞)上为增函数，满足题意；

当m＝3时，m2－6m＋8＝－1，

则y＝x－1在(0，＋∞)上为减函数，不满足题意，

∴m＝3应舍去.

综上可知，m＝1.

类型三　利用幂函数的单调性解不等式

例3 已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是(　　)

A.(3，5)    B.(－1，＋∞)

C.(－∞，5)    D.(－1，5)

答案　A

解析　∵幂函数f(x)＝x－＝的定义域为{x|x>0}，在(0，＋∞)上单调递减，

∴若f(a＋1)<f(10－2a)，

则解得

即3<a<5，

∴a的取值范围是(3，5).