高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数优秀单元测试课时作业

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一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】解方程可得结果.
【详解】当时，由可得，解得（舍去）；
当时，由可得，即或，解得或.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以，
所以，
，所以，
得，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）若实数，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】方法一：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，然后进行比较即可求解；方法二：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，再进一步进行比较即可求解.
【详解】方法一：，∴，，∴，
∴，，
又，∴，∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，，
，，
∴，
故选：D.
方法二：由，.
而，，，，
∵，∴，
故选：.
5．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.
【详解】因为,分别是函数和的零点
则,分别是和的解
所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标
所以交点分别为
因为
所以,
由于函数与函数和函数都关于对称
所以点与点关于对称
因为关于对称的点坐标为
所以
即,且
所以
,由于,所以不能取等号
因为
所以
即
故选:D
【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.
6．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.
【详解】解：因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为
所以
故选：B.
【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
7．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.
【详解】由知是周期为2的周期函数，
函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点，
①当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即.
②当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即 .
综上所述,的取值范围是.
故选：A
8．（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
【答案】A
【分析】分析函数，的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答.
【详解】函数定义域为，
其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，
当时，，当或时，取一切实数，当时，，
，即的图象关于点对称，
函数定义域为R，在R上单调递增，值域为，其图象夹在二平行直线之间，
，的图象关于点对称，
因此，函数的图象与的图象有4个交点，即，它们关于点对称，
不妨令点与相互对称，与相互对称，则，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得，
则函数图象关于点对称.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
10．（2023·全国·模拟预测）若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）
A．为偶函数B．
C．D．当时，
【答案】ACD
【分析】根据题意可得关于与对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可
【详解】对A，因为函数为偶函数，故，故关于对称.又为奇函数，关于原点对称，故关于对称.综上，关于与对称. 关于对称有，关于对称有，，故，即，所以为偶函数，故A正确；
对B，由A，因为，，故B错误；
对C，由A，，故C正确；
对D，当时，，故，故D正确；
故选：ACD
11．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为
【答案】ACE
【解析】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
【点睛】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
12．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
【答案】ACD
【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：
画出部分图像如下：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减. 判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：
等价于
即，而恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023秋·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则 .
【答案】
【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
14．（2023·上海·高三专题练习）若函数的反函数为，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.
【详解】令，由可得，则，则，
则解得，故解集为.
故答案为：.
15．（2023春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则
因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，
因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得
所以，
所以，，，，，
所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，
所以，的解集为，
所以，不等式的解集为
故答案为：
16．（2023秋·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故．综上可知：或．
故答案为：或
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023秋·高一课时练习）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；

【答案】
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
(2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
19．（2023秋·江苏·高一专题练习）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由分数指数幂的运算求解即可；
（2）利用，应用完全平方公式和立方和公式找到与及的关系，整体代入求解即可.
【详解】（1）原式=
=；
（2）由，
则，
则
则，
即.
20．（2023·全国·高三专题练习）计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)求值：
【答案】(1)
(2)
(3)625
(4)
【分析】由对数和指数的运算求解即可.
（1）
（2）
（3）
原式
.
（4）
21．（2023秋·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知二次函数，关于x的不等式<0的解集为
(1)求实数m、n的值；
(2)当时，解关于x的不等式；
(3)当是否存在实数a，使得对任意时，关于x的函数有最小值-5.若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)存在，.
【分析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.
（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.
【详解】（1）依题意，不等式的解集是，因此，是关于x的一元二次方程的二根，且，
于是得，解得，
所以实数m、n的值是：.
（2）当时，由（1）知：，
当时，，解得：或，
当时，解得，
当时，不等式化为：，解得：，
所以，当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是.
（3）假设存在实数满足条件，由（1）知，，，
因，则设，函数化为：，显然，
于是得在上单调递减，当时，，
由解得：或（舍去），又，
所以存在实数满足条件，.
【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式，首先注意二次项系数是否含有参数，如果有，必须按二次项系为正、零、负三类讨论求解.
22．（2023春·云南·高一校考阶段练习）已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．
(1)求a的值．
(2)证明：在上是增函数．
(3)若对于上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义列出等式，整理化简可得结果；
（2）将看成是由 复合而成，根据复合函数的单调性的判断方法证明即可；
（3）不等式恒成立问题转化为解决，因此根据函数的单调性求得最值，解不等式可得答案.
【详解】（1）解：由题意，是奇函数，
故 ，即，
即，所以，
即 ，则，
故 ，
当时，，无意义，不符合题意；
当时，满足，
故；
（2）证明：由（1）知：，
设 ，那么可以看成是由 复合而成，
因为在定义域内是减函数，
故要证明函数在上是增函数，只需证明在上是减函数即可；
不妨设 ，
则 ，
， ，
故，即，即,
所以在上是单调减函数，
故在上是增函数．
（3）解：对于上的每一个x的值，不等式恒成立，
即恒成立，只需即可；
而由（2）知在上是增函数，在上是单调减函数，
故在上是增函数，
故，
故，即 .