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人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词图片课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词图片课件ppt，文件包含151全称量词与存在量词pptx、151全称量词与存在量词DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共41页， 欢迎下载使用。
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升数学抽象素养；通过含量词命题的真假判断及应用，提升逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、全称量词与全称量词命题1.问题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.提示 语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
2.思考 对于上述问题中的(3)，(4)，你能判定它们的真假吗？提示 (3)中，取x＝2，不满足x>3，命题(3)是假命题.(4)中，任意x∈Z，则2x为整数，∴2x＋1是整数，(4)为真命题.
3.填空 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“____”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有__________的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________________.温馨提醒 (1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
4.做一做 下列命题中全称量词命题的个数为( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的偶数都是合数；③三角形的内角和是180°.A.0 B.1 C.2 D.3解析 命题①②含有全称量词，命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”，故三个都是全称量词命题.
二、存在量词与存在量词命题1.问题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.提示 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.
2.思考 对于上述问题中的语句(3)(4)，你能判断它们的真假吗？提示 (3)是真命题，(4)是真命题.
4.做一做 (多选)下列命题中是存在量词命题的是( )A.有一些抛物线的开口方向向上B.存在整数n，使n能被11整除C.正方形的对角线相等D.∀x∈M，p(x)解析 A，B是存在量词命题，C，D是全称量词命题.
5.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.( )(2)存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.( )提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.(3)∀x∈R，x2＋1≥1是真命题.( )(4)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cs ∠B.解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
训练1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解 (1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.
例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；
题型二 含有量词命题的真假判断
解 (1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要举一个反例.
训练2 判断下列命题的真假：(1)有一些二次函数的图象过原点；(2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)任何实数都有算术平方根.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.解 由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
解得2≤m≤3.故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
迁移 把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围.解 p为真，则A∩B≠，因为B≠，所以m≥2.
解得2≤m≤4.故实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.
依据含量词命题的真假求参数取值范围：(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3 若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.解 ∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.∴实数a的取值范围是{a|a≤4}.
1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.3.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列命题中形式不同于其他三个的是( )A.∀x∈Z，x2－9
3.下列命题中存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0 B.1 C.2 D.3解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.每个二次函数的图象都开口向下B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象开口向上，是假命题；对于a，b∈R，a－b≤0⇒a≤b，故C为真命题.
5.下列四个命题：①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.其中，真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 ①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
6.给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.其中全称量词命题是________(填序号).解析 ②省略了量词“所有的”.
7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________.解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”.
∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
8.给出下列命题：(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x＋1≤0；(3)∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.其中真命题的个数为________.
9.试判断下列全称量词命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)每个二次函数都有最小值.解 (1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.解 由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
11.(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )A.{3，4，5} B.{x|x>2}C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}解析 因为中位数为3，所以x≥3即可，故选ACD.
12.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
解析 A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
13.若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解 因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立.设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
14.已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤5解析 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4 a≥5，a≥5⇒a≥4.所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升数学抽象素养；通过含量词命题的真假判断及应用，提升逻辑推理素养.
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拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
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一、全称量词与全称量词命题1.问题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.提示 语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
2.思考 对于上述问题中的(3)，(4)，你能判定它们的真假吗？提示 (3)中，取x＝2，不满足x>3，命题(3)是假命题.(4)中，任意x∈Z，则2x为整数，∴2x＋1是整数，(4)为真命题.
3.填空 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“____”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有__________的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________________.温馨提醒 (1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
4.做一做 下列命题中全称量词命题的个数为( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的偶数都是合数；③三角形的内角和是180°.A.0 B.1 C.2 D.3解析 命题①②含有全称量词，命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”，故三个都是全称量词命题.
二、存在量词与存在量词命题1.问题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.提示 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.
2.思考 对于上述问题中的语句(3)(4)，你能判断它们的真假吗？提示 (3)是真命题，(4)是真命题.
4.做一做 (多选)下列命题中是存在量词命题的是( )A.有一些抛物线的开口方向向上B.存在整数n，使n能被11整除C.正方形的对角线相等D.∀x∈M，p(x)解析 A，B是存在量词命题，C，D是全称量词命题.
5.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.( )(2)存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.( )提示 不存在x∈R，使得x2<0成立.(3)∀x∈R，x2＋1≥1是真命题.( )(4)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cs ∠B.解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
训练1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解 (1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.
例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；
题型二 含有量词命题的真假判断
解 (1)是全称量词命题，因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要举一个反例.
训练2 判断下列命题的真假：(1)有一些二次函数的图象过原点；(2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)任何实数都有算术平方根.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.解 由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
解得2≤m≤3.故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
迁移 把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围.解 p为真，则A∩B≠，因为B≠，所以m≥2.
解得2≤m≤4.故实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.
依据含量词命题的真假求参数取值范围：(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3 若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.解 ∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.∴实数a的取值范围是{a|a≤4}.
1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.3.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列命题中形式不同于其他三个的是( )A.∀x∈Z，x2－9
3.下列命题中存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0 B.1 C.2 D.3解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.每个二次函数的图象都开口向下B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象开口向上，是假命题；对于a，b∈R，a－b≤0⇒a≤b，故C为真命题.
5.下列四个命题：①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.其中，真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 ①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；④为真命题.
6.给出下列三个命题：①∀x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1.其中全称量词命题是________(填序号).解析 ②省略了量词“所有的”.
7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________.解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”.
∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
8.给出下列命题：(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x＋1≤0；(3)∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.其中真命题的个数为________.
9.试判断下列全称量词命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1≥2；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)每个二次函数都有最小值.解 (1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
10.已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.解 由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
11.(多选)命题p：存在实数x∈M，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合M可以为( )A.{3，4，5} B.{x|x>2}C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}解析 因为中位数为3，所以x≥3即可，故选ACD.
12.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
解析 A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
13.若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解 因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立.设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
14.已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤5解析 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4 a≥5，a≥5⇒a≥4.所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
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