2021学年5.2 三角函数的概念教学演示课件ppt

5.2.2　同角三角函数的基本关系

课标要求　1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.

素养要求　通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

一、同角三角函数的基本关系

1.问题　计算下列式子的值：

(1)sin20°＋cos20°；

(2)sin245°＋cos245°；

(3)sin260°＋cos260°.

由此你能得出什么结论？

提示　3个式子的值均为1.

猜想：设任意角α，有sin2α＋cos2α＝1.

2.问题　设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.

(1)能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？

提示　sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.

(2)公式sin2α＋cos2α＝1与tan α＝对任意角都成立吗？

提示　前者对任意角α都成立，当α≠kπ＋，k∈Z时，tan α＝成立.

3.填空　(1)同角三角函数的基本关系

①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

②商数关系：tan α＝.

语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.

(2)同角三角函数基本关系的变形

①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.

温馨提醒　注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.

4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.

(1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1.(×)

(2)sin2＋cos2＝1.(√)

(3)对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)

(4)若sin α＝，则cos α＝.(×)

5.做一做　若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

答案　B

解析　由题意可得sin α＝＝，

∴tan α＝＝－.

二、sin α±cos α，sin αcos α之间的关系

1.问题　利用sin2α＋cos2α＝1，你能否发现(sin α＋cos α)2与sin αcos α的关系？能否用sin αcos α表示sin α－cos α？

提示　(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2.

2.填空　(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________.

答案　2

解析　左边＝1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos α＝2.

3.做一做　已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.   B.－

C.－   D.

答案　C

解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，则1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝＝－.

题型一　基本关系的简单应用

例1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角.

(1)当α是第二象限角时，则

sin α＝ ＝ ＝，

tan α＝＝＝－.

(2)当α是第三象限角时，则

sin α＝－＝－，tan α＝.

思维升华　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解

(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.

解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.

题型二　三角函数式的求值

角度1　弦切互化求值

例2 已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)sin2α＋cos2α.

解　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝＝－.

(3)原式＝

＝＝＝.

思维升华　关于sin α，cos α的齐次式的求值方法

(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.

(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为“1”，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.

角度2　sin α±cos α型求值问题

例3 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.

解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝，

即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，

所以sin θcos θ＝－.

由上知，θ为第二象限角，所以sin θ－cos θ>0，

所以sin θ－cos θ＝

＝＝.

思维升华　1.已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.

2.涉及的三角恒等式有：

(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；

(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；

(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；

(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.

训练2 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.

答案　－

解析　∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

即2sin αcos α＝－<0，

又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，

∴α∈，

故sin α－cos α

＝＝，

可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

(2)已知＝－1，求sin2α＋sin αcos α＋1的值.

解　法一　由于＝－1，

∴sin α－3cos α＝－sin α－cos α，则sin α＝cos α.

因此sin2α＋sin αcos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.

法二　由＝－1，得＝－1.

∴tan α＝1.

则sin2α＋sin α·cos α＋1

＝＋1

＝＋1＝＋1＝2.

题型三　三角函数式的化简与证明

角度1　化简三角函数式

例4 化简：＋(1＋tan2α)cos2α.

解　原式＝＋cos2α

＝＋·cos2α＝1＋1＝2.

思维升华　1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.

2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

训练3 化简：(1)；

(2)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.

解　(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α

＝

＝＝.

角度2　三角恒等式的证明

例5 求证：＝.

证明　左边＝

＝

＝

＝＝

＝＝右边，

所以原等式成立.

思维升华　1.证明三角恒等式的常用方法：

(1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式).

(2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式.

(3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0.2.证明三角恒等式关键在于消除差异，有目的的化简.

训练4 求证：＝.

证明　法一　左边＝

＝＝

＝＝右边.

所以原等式成立.

法二　右边＝＝

＝

＝

＝＝左边.

所以原等式成立.

[课堂小结]

1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.

2.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.

3.运用平方关系求值时，要根据角α的范围判定三角函数值的符号，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.

一、基础达标

1.已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α＝(　　)

A.－  B.－ 

C.   D.

答案　A

解析　∵sin α＝，α为第二象限角，

∴cos α＝－，

∴tan α＝－.

2.已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　　)

A.±   B. 

C.－   D.

答案　C

解析　由tan α＝，可得＝，sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，

由于α∈，所以cos α＝－.

3.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)

A.锐角三角形   B.钝角三角形

C.等边三角形   D.等腰直角三角形

答案　B

解析　∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

∴sin α·cos α＝－<0，

由α是三角形的内角，知sin α>0，

∴cos α<0，则α为钝角，△ABC为钝角三角形.

4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.   B. 

C.1   D.

答案　C

解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.

5.(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项正确的是(　　)

A.tan α＝

B.cos α＝

C.sin α＋cos α＝

D.sin α－cos α＝－

答案　AB

解析　因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，故B正确；tan α＝＝＝，故A正确；

sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误；

sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误.故选AB.

6.若＝－1，则tan α＝________.

答案　2

解析　原式可化为＝－1.

则tan α＝2.

7.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.

答案　1

解析　(1＋tan215°)cos215°＝·cos215°

＝·cos215°＝1.

8.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边经过点P(3，4)，则＝________.

答案　10

解析　由三角函数的定义，得tan α＝，

故＝＝＝＝10.

9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.

解　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝

＝＝＝.

10.求证：＝.

证明　因为右边＝

＝＝

＝＝＝左边.

所以原等式成立.

二、能力提升

11.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ等于(　　)

A.   B.－ 

C.   D.－

答案　B

解析　由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

得2sin θcos θ＝，

则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝－.

12.若β∈[0，2π)，且＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是________.

答案　

解析　∵＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，

∴sin β≥0且cos β≤0.

又∵β∈[0，2π)，∴β∈.

13.(1)分别计算 sin4－cos4和sin2－cos2的值，你有什么发现？

(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？

(3)证明∶∀x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x.

(1)解　sin4－cos4＝，sin2－cos2＝，

所以sin4－cos4＝sin2－cos2.

(2)解　不妨取α＝，

则有sin4α－cos4α＝1；sin2α－cos2α＝1.

所以当α取时，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α.

(3)证明　对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝(sin2x－cos2x)·(sin2x＋cos2x)＝sin4x－cos4x.

三、创新拓展

14.关于x的方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，则＋＝________.

答案　－

解析　因为方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，

所以sin θ＋cos θ＝－，

sin θcos θ＝，

所以＋＝＋

＝＝sin θ＋cos θ＝－.