初中数学华师大版九年级上册第23章 图形的相似23.1 成比例线段1. 成比例线段同步练习题

第23章　 图形的相似

23.1.1　成比例线段

知识点 1　线段的比

1．已知线段a＝20 cm，b＝30 cm，则a∶b＝________，b∶a＝________．

2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为(　　)

A．3∶4  B．2∶3  C．3∶5  D．1∶2

3．如图23－1－1，C是线段AB的中点，点D在BC上，AB＝24 cm，BD＝5 cm.

(1)AC∶CB＝________，AC∶AB＝________；

(2)＝______，＝________，＝______．

图23－1－1

知识点 2　成比例线段的概念

4．线段a＝8 cm，b＝30 cm，c＝10 cm，d＝24 cm中，最短两条线段的比a∶c＝________，最长两条线段的比d∶b＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．

5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是(　　)

A．3 cm，6 cm，12 cm，18 cm

B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm

C. cm， cm， cm，5 cm

D．5 cm，2 cm，3 cm，6 cm

6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．

(1)a＝7 cm，b＝4 cm，c＝d＝2  cm；

(2)a＝20 mm，b＝8 m，c＝28 m，d＝7 cm.

知识点 3　比例的基本性质

7．已知＝，若其中a＝5 cm，b＝3 cm，c＝2 cm，则可列比例式＝，根据比例的基本性质，可得________，所以线段d＝________ cm.

8．已知＝，那么下列等式一定成立的是(　　)

A．x＝y       B．7y＝9x

C．7x＝9y      D．xy＝63

9．若2x＝5y，则下列式子中错误的是(　　)

A.  ＝     B. ＝

C. ＝   D.  ＝

10. 画在图纸上的某一零件长3.2 cm，若比例尺是1∶20，则该零件的实际长度是__________．

11．已知＝＝≠0，则的值为________．

12．已知＝，求和的值．

13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是(　　)

A.∶1  B．1∶2

C．2∶  D．1∶

14．已知三个数2，，4.若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是(　　)

A．2                B．2 或

C．2 ，4 或8   D．2 ，或4

15．若＝，则下列各式一定成立的有(　　)

①＝；②＝；

③＝；④＝.

A．4个   B．3个   C．2个   D．1个

16．［教材练习第2题变式］若＝＝，且a－b＋c＝8，则a＝________．

17．已知＝＝＝2，且△ABC的周长为18 cm，求△A′B′C′的周长．

18．如图23－1－2，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝.求线段PQ的长．

图23－1－2

19．已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm.

(1)求线段a与线段b的比；

(2)如果a∶b＝c∶d，求线段d的长．

20．已知＝，求下列各式的值：

(1)；　　　　　(2).

21．已知△ABC的三边长a，b，c满足关系式＝＝，且a＋b＋c＝12，则这个三角形的面积是多少？

22．阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知＝＝(a，b，c互不相等)，求x＋y＋z的值．

解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，

∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，

∴x＋y＋z＝0.

依照上述方法解答下面的问题：

已知a，b，c为非零实数，且a＋b＋c≠0，当＝＝时，求的值．
                              参考答案

1．2∶3　3∶2　

2.  A

3．(1)1∶1　1∶2　(2)　　

4．4∶5　4∶5　是

5．C　[解析] 只有C中＝，为成比例线段．

6．[解析] 判断四条线段是不是成比例线段，可根据线段长度的大小关系，从小到大排列，判断较短的两条线段的比是否等于较长的两条线段的比，若比值相等则这四条线段是成比例线段．

解：(1)因为＝＝＝，＝，所以这四条线段是成比例线段，比例式为＝.

(2)将线段从小到大排列，得a＝20 mm＝0.02 m，d＝7 cm＝0.07 m，b＝8 m，c＝28 m．因为＝＝，＝＝，所以这四条线段是成比例线段，比例式为＝.

7．5　3　2　d　5d＝6　

8.  B　

9.  D　

10.  64 cm

11.  　[解析] 设＝＝＝k，则c＝4k，b＝5k，a＝6k，所以＝＝.

12．解：由已知可设a＝4k，b＝3k(k≠0)，

∴＝＝＝，

＝＝＝.

13． D

14． D　[解析] 设这个数是x，由题意，得

当2∶＝4∶x时，则2x＝4 ，解得x＝2 ；

当2∶4＝x∶时，则4x＝2 ，解得x＝；

当2∶＝x∶4时，则x＝8，解得x＝4 .

故选D.

15． A

16．10　[解析] 由＝＝，得b＝，c＝，由a－b＋c＝8，得a－＋＝8，

解得a＝10.

17．解：∵＝＝＝2，

∴AB＝2A′B′，BC＝2B′C′，AC＝2A′C′.

∵AB＋BC＋AC＝18，

∴2A′B′＋2B′C′＋2A′C′＝18，

∴2(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝18，

∴A′B′＋B′C′＋A′C′＝9，

∴△A′B′C′的周长为9 cm.

18．[解析] 根据＝＝，分别求出BP，BQ的长，两者相加即可求出PQ的长．

解：∵AB＝10，＝＝，

∴BP＝4，BQ＝20，

∴PQ＝BP＋BQ＝24.

答：线段PQ的长为24.

19．解：a＝0.3 m＝3 dm，b＝60 cm＝6 dm，c＝12 dm.

(1)a∶b＝3∶6＝1∶2.

(2)∵a∶b＝c∶d，

∴1∶2＝12∶d，

解得d＝24(dm)．

故线段d的长是24 dm.

20．解：由已知可得9(x＋y)＝11(x－y)，整理得x＝10y.

(1)＝＝＝.

(2)＝＝＝－.

21．令＝＝＝k，则a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，

代入a＋b＋c＝12，可得k＝3，

∴这个三角形的三边长为a＝5，b＝3，c＝4.

∵a2＝b2＋c2，∴这个三角形为直角三角形，

∴S＝bc＝×3×4＝6.

22．设＝＝＝k(k≠0)，

则a＋b－c＝kc①，a－b＋c＝kb②，－a＋b＋c＝ka③，

由①＋②＋③，得a＋b＋c＝k(a＋b＋c)．

∵a＋b＋c≠0，∴k＝1，

∴a＋b＝2c，b＋c＝2a，c＋a＝2b，

∴＝＝8.

23.1.2　平行线分线段成比例

知识点 1　平行线分线段成比例

1．如图23－1－3，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，根据平行线分线段成比例，可得＝，若AB＝5，BC＝10，DE＝4，可得＝，解得EF＝________．

图23－1－3

2．如图23－1－4，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB的长为(　　)

A.       B.      C．5      D．6

图23－1－4

3．如图23－1－5，若AD∥BE∥CF，直线l1，l2与平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝BC，则DE与EF________(填“相等”或“不相等”)．

图23－1－5

4．如图23－1－6，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，EF∥BC交CD于点F.若AE＝2，BE＝6，CD＝7，则FC＝________．　　　

图23－1－6

5．如图23－1－7，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.如果AB＝6，BC＝10，那么的值是________．

图23－1－7

6．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a∥b∥c.

(1)若AC＝6 cm，EC＝4 cm，BD＝8 cm，则线段DF的长度是多少厘米？

(2)若AE∶EC＝5∶2，DB＝5 cm，则线段DF的长度是多少厘米？

图23－1－8

知识点 2　平行线分线段成比例的推论

7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC中，因为DE∥BC，所以＝.若＝，则＝＝________．

图23－1－9

8．如图23－1－10，直线l1∥l2∥l3，直线AC与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，直线DF与l1，l2，l3分别交于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为(　　)

A.      B．2     C.      D.

    图23－1－10

9．如图23－1－11，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，则下列比例式不正确的是(　　)

A.＝　        B.＝

C.＝　        D.＝

图23－1－11

10．如图23－1－12，若AB∥DC，AC，BD相交于点E，且AE＝2，EC＝3，BD＝10，则ED＝________．

图23－1－12

11．如图23－1－13，在△ABC中，DE∥BC，且DB＝AE.若AB＝5，AC＝10，求AE的长．

图23－1－13

12．如图23－1－14，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，那么BC的长为________．

图23－1－14

13．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________cm.

图23－1－15

14. 如图23－1－16，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，则＝__________．

图23－1－16

15．如图23－1－17，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝8，求CF的长．

图23－1－17

16．如图23－1－18，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于点D，AC＝8，AB＝9，CE＝4，求DE的长．

图23－1－18

17．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则 ＝.

请你利用该结论解答下列问题：

如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．

图23－1－19

教师详答

1．DE　EF　5　10　4　EF　8

2．B　[解析] ∵AB∥EF∥DC，∴＝.∵DE＝3，DA＝5，CF＝4，∴＝，∴CB＝，∴FB＝CB－CF＝－4＝.故选B.

3．相等　[解析] 因为AD∥BE∥CF，所以＝.因为AB＝BC，所以DE＝EF.

4.  　[解析] 因为AD∥EF∥BC，所以＝.因为AE＝2，BE＝6，CD＝7，所以＝，所以FC＝.

5 .  　[解析] ∵AD∥BE∥FC，∴＝.

又∵AB＝6，BC＝10，∴＝，∴＝.

6．解：(1)∵a∥b∥c，∴＝，

即＝，解得DF＝(cm)．

故线段DF的长度是 cm.

(2)∵a∥b∥c，∴＝＝，

即＝，解得DF＝(cm)．

故线段DF的长度是 cm.

7．AE　EC　AE　EC　

8．D　[解析] ∵AG＝2，GB＝1，∴AB＝AG＋GB＝3.∵直线l1∥l2∥l3，∴＝＝.故选D.

9．D　10.6

11．解：∵DE∥BC，∴＝，

∴＝，∴AE＝.

12．　[解析] ∵AB∥CD∥EF，

∴＝，即＝，解得BC＝6.

13． 12　[解析] 如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D.∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝12(cm)．

14． 2　[解析] 如图，过点D作DG∥BF，交AC于点G，

则＝，＝.

又∵E为AD的中点，AD为△ABC的中线，

∴AE＝ED，BD＝DC，

∴＝＝1，＝＝1，

∴AF＝FG，FG＝GC，

∴CF＝2AF，∴＝2.

15．解：∵DE∥BC，

∴＝＝＝.

∵DF∥AC，∴＝＝，

∴＝，∴CF＝.

16．解：∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，∴DB＝.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.

∵DE∥BC，∴∠CBE＝∠DEB，

∴∠ABE＝∠DEB，∴DE＝DB＝.

17．解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,

则 ＝.

又∵BD＝2DC，AD＝2, ∴DE＝1.

∵CE∥AB，∴∠AEC＝∠BAD＝75°.

又∵∠CAD＝30°，∴∠ACE＝75°，

∴AC＝AE＝AD＋DE＝3.