【最新版】高中数学高三培优小题练第53练　基本不等式

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第53练　基本不等式考点一　利用配凑法求最值1．已知x>1，则＋x的最小值为(　　)A．4  B．6  C．7  D．10答案　C解析　 已知x>1，则x－1>0，∴＋x＝＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当＝x－1，即x＝4时等号成立．∴＋x的最小值为7.2．若0<x<，则y＝x的最大值为(　　)A．1  B.  C.  D.答案　C解析　∵0<x<，∴y＝x＝＝≤·＝，当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，则y＝x的最大值为.3．当x<1时，不等式的最大值为________．答案　－2解析　＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2(x<1)，当且仅当1－x＝，即x＝－1时取“＝”，所以的最大值为－2. 考点二　利用已知条件求最值4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)A．16  B．8  C．4  D．2答案　A解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab＝a＋4b≥2＝4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时，等号成立．5．已知a，b为正实数，且＋＝4，则a＋2b的最小值是(　　)A．2  B.  C.  D．3答案　B解析　∵a＋2b＝×＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，∴a＋2b的最小值是.6．正数m，n满足m＋n＝2，则＋的最小值为(　　)A.  B.  C.  D．2答案　B解析　∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5，即＋＝1，∴ ＋＝＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时，取等号．7．已知x>0，y>0,2x＋y＋2xy＝3，则z＝2x＋y的最小值为(　　)A．2  B．3  C．4  D．5答案　A解析　因为2x＋y＋2xy＝3，故可得2xy＝－＋3，因为x>0，y>0，故可得2xy≤2，即－＋3≤2，令z＝2x＋y，则z2＋4z－12≥0，解得z≥2或z≤－6，因为z>0，故z≥2，当且仅当2x＝y, 2x＋y＋2xy＝3，即x＝，y＝1时取得最小值2. 考点三　基本不等式的应用8．关于x的不等式x2－ax＋4≥0在区间上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　由题意得a≤＝x＋恒成立，因为x∈，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以a≤4.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　由已知和余弦定理推导式可得，cos C＝＝＝×，∵a>0，b>0，∴＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立．∴cos C≥×2＝，又C∈(0，π)，∴C∈.10．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎．已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所得利润全部捐献于公益组织．为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制x只“七中熊”时，需另投入成本C(x)元，C(x)＝71x＋－3 250，x∈N*.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完．若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为________只时，学生会向公益组织所捐献的金额最大．答案　200解析　由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为F(x)，则F(x)＝70x－C(x)－250＝－＋3 000，由对勾函数的性质知，g(x)＝x＋在x＝＝200时取得最小值，所以当x＝200时，F(x)取得最大值．11．下列函数中最小值为4的是(　　)A．y＝x＋B．y＝3x＋4·3－xC．y＝sin x＋(0<x<π)D．y＝lg x＋4logx10答案　B解析　对于A，当x<0时，y＝x＋<0，故A错误；对于B，y＝3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝log32时取等号，故B正确；对于C，虽然x∈，sin x>0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x＝，即sin x＝2，显然不可能，故C错误；对于D，由于没有给出x的范围，所以lg x的正负不确定，不满足最小值为4，故D错误．12．已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论不正确的是(　　)A．ab≤4   B.＋≥1C．2a＋2b≥16   D．a2＋b2≥8答案　C解析　A项，因为a＋b＝4，所以2≤4，所以ab≤4，取等号时a＝b＝2，故正确；B项，因为＋＝＝≥1，取等号时a＝b＝2，故正确；C项，因为2a＋2b≥2＝2＝8，取等号时a＝b＝2，故错误；D项，因为≥，所以a2＋b2≥8，取等号时a＝b＝2，故正确．13．(2022·长春模拟)如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且AE＝AF＝2千米，若要求观景台D与两接送点所成角∠EDF与∠BAC互补且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE与DF，则观光线路之和最长是________ 千米．答案　4解析　在△AEF中，因为AE＝AF＝2，∠EAF＝，所以EF＝AE＝AF＝2，又∠EDF与∠BAC互补，所以∠EDF＝，在△DEF中，由余弦定理得EF2＝AE2＋DF2－2DE·DF·cos∠EDF，即DE2＋DF2＋DE·DF＝12，即(DE＋DF)2－DE·DF＝12，因为DE·DF≤(DE＋DF)2，所以(DE＋DF)2－DE·DF＝12≥(DE＋DF)2－(DE＋DF)2，所以DE＋DF≤4，当且仅当DE＝DF＝2时，取等号，所以观光线路之和最长是4千米．14．已知正数a，b满足a＋b＋＋＝10，则a＋b的最小值是________．答案　2解析　因为a＋b＋＋＝10，所以2＋＋＝10，所以2＋10＋＋＝10，所以10＋＋＝10－2，所以10－2≥10＋2＝16，当且仅当b＝3a时，等号成立所以≤0，所以2≤a＋b≤8，当a＋b＝2时， 符合条件，所以min＝2.