【最新版】高中数学高三培优小题练第82练　二项式定理

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考点一 二项式定理
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项是( )
A．－120 B．－60
C．60 D．120
答案 C
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·(－2)k·，取k＝2得到常数项为Ceq \\al(2,6)·(－2)2＝60.
2．(2022·重庆模拟)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))9的展开式的中间项为( )
A．126x6 B．－126x3
C．126x6和－126x3 D．126x6和126x3
答案 C
解析 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))9的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，
T5＝Ceq \\al(4,9)(x2)5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))4＝126x6，
T6＝Ceq \\al(5,9)(x2)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))5＝－126x3.
3．(1＋x＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式中含x的项为( )
A．120 B．120x
C．－40 D．－40x
答案 D
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(－2)k·x5－2k，k＝0,1,2,3,4,5，
所以(1＋x＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))5的展开式中含x的项为
1·Ceq \\al(2,5)(－2)2x1＋x2·Ceq \\al(3,5)(－2)3x－1＝40x－80x＝－40x.
考点二 二项式系数与系数
4．(2022·成都模拟)(x－2y)·(2x－y)5的展开式中的x3y3的系数为( )
A．－200 B．－120
C．120 D．200
答案 A
解析 (2x－y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(2x)5－k(－y)k＝25－kCeq \\al(k,5)x5－k(－y)k，
当k＝3时，T4＝25－3Ceq \\al(3,5)x5－3(－y)3＝－40x2y3，此时只需乘以第一个因式(x－2y)中的x即可，得到－40x3y3；
当k＝2时，T3＝25－2Ceq \\al(2,5)x5－2(－y)2＝80x3y2，此时只需乘以第一个因式(x－2y)中的－2y即可，得到－160x3y3，
据此可得x3y3的系数为－40－160＝－200.
5．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于( )
A．280 B．300 C．210 D．120
答案 D
解析 在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)
＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝…＝Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120.
6．若(2x＋eq \r(3))100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)2的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
答案 A
解析 令x＝1，则(2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)；
令x＝－1，则(－2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)，
两式相乘得(2＋eq \r(3))100(－2＋eq \r(3))100＝(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2，
即(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝1.
考点三 最值问题
7．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))n的展开式中所有项的系数的绝对值的和为eq \f(729,64)，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．－eq \f(5,2)x3 B.eq \f(15,4)x4
C．－20x3 D．15x4
答案 A
解析 令x＝－1，可得展开式中系数的绝对值的和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n＝eq \f(729,64)，解得n＝6.
∴展开式有7项，∴二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))6展开式中二项式系数最大的为第4项，
T4＝Ceq \\al(3,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3(－1)3x3＝－eq \f(5,2)x3.
8．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))11的展开式中，系数最大的项为( )
A．第五项 B．第六项
C．第七项 D．第六项或第七项
答案 C
解析 依题意可知Tk＋1＝Ceq \\al(k,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))kx22－3k,0≤k≤11，k∈N，二项式系数最大的是Ceq \\al(5,11)与Ceq \\al(6,11)，
所以系数最大的是T7＝Ceq \\al(6,11)，即第七项．
考点四 二项式定理的应用
9．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
答案 D
解析 令x＝0，得a0＝1，令x＝2得(1＋2)·(1－4)8＝a0＋a1·2＋…＋a9·29，所以a1·2＋…＋a9·29＝39－1.
10. 1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k·90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．8
答案 B
解析 因为1－90Ceq \\al(1,10)＋902Ceq \\al(2,10)－903Ceq \\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \\al(k,10)＋…＋9010Ceq \\al(10,10)＝(1－90)10＝8910，
所以8910＝(1＋88)10＝Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(1,10)88＋Ceq \\al(2,10)882＋…＋Ceq \\al(10,10)8810＝1＋Ceq \\al(1,10)88＋Ceq \\al(2,10)882＋…＋Ceq \\al(10,10)8810，
所以原式除以88的余数为1.
11．(2022·石家庄模拟)已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则(1＋2x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．38 B．310 C．28 D．210
答案 A
解析 由题知Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(5,n)，由组合数性质解得n＝8，
∴(1＋2x)n＝(1＋2x)8，令x＝1，得展开式各项系数之和为38.
12．(2022·南京模拟)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则下列结论不正确的是( )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
答案 D
解析 ∵(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
令等式中的x＝0，可得a0＝2，故A正确．
a5的值，即展开式中x5的系数，
为2×(－2)5Ceq \\al(5,5)＋(－2)4Ceq \\al(4,5)＝16，即a5＝16，故B正确．
在所给的等式中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3，①
又a0＝2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确；
在所给的等式中，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243，②
由①②得，a1＋a3＋a5＝－123，故D错误．
13．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展开式中x2的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
答案 A
解析 由题意可知n＝8，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4＋x2＋\f(1,x2)))4，
其展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(－4)4－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k，k＝0,1,2,3,4，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k的展开式的通项为Ceq \\al(m,k)(x2)k－m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))m＝Ceq \\al(m,k)x2k－4m，m＝0,1，…，k，
令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0，,k＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,k＝3，))
所以，x2的系数为Ceq \\al(1,4)×Ceq \\al(0,1)×(－4)3＋Ceq \\al(3,4)×Ceq \\al(1,3)×(－4)1＝－304.
14．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )
A．2 020×22 019 B．2 021×22 018
C．2 020×22 018 D．2 021×22 019
答案 B
解析 由题意，数表的每一行从右向左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……
故第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，…，第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2 020行只有一个数，所以这个数是2 021×22 018.