【最新版】高中数学高三培优小题练第75练　圆锥曲线中二级结论的应用

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第75练　圆锥曲线中二级结论的应用，共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，椭圆C，已知F1，F2分别为双曲线C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
考点一 中点弦斜率公式
1．已知双曲线方程为x2－y2＝4，过点A(3,1)作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为( )
A．y＝3x－8 B．y＝－3x＋8
C．y＝3x－10 D．y＝－3x＋10
答案 A
解析 直线l的斜率为k＝3，所以直线方程为y－1＝3(x－3)，即y＝3x－8.
2．设AB是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1的不垂直于对称轴的弦，M(x0，y0)是弦AB的中点，设直线AB的斜率为k1，直线OM (O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A.eq \f(1,4) B．4 C．－eq \f(1,4) D．－4
答案 C
解析 k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,4).
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 由k＝eq \f(p,y中点)，得1＝eq \f(p,2)，所以p＝2，所以准线方程为x＝－1.
考点二 周角定理
4．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA·kPB＝eq \f(3,4)，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(7),2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 由双曲线的周角定理可得kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
则e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(7),2).
5．椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－1))，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由椭圆的周角定理可得kPA1·kPA2＝－eq \f(3,4)，因为kPA1∈[－2，－1]，所以kPA2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
考点三 焦点三角形面积公式
6．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．3eq \r(3) D．3
答案 B
解析 由＝eq \f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))＝eq \f(1,tan 30°)＝eq \r(3).
7．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．4eq \r(3) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(4\r(3),3) D．8(2－eq \r(3))
答案 C
解析 ＝b2·taneq \f(∠F1PF2,2)＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).
考点四 抛物线的焦点弦性质
8．(2022·芜湖模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值一定等于( )
A．－4 B．4 C．p2 D．－p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝eq \f(p,2)，x1x2＝eq \f(p2,4)，eq \f(y1y2,x1x2)＝－4；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，x1x2＝eq \f(p2,4).∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2＝p4.
又∵y1y20))的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝__________.
答案 8
解析 设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(2),2)，由题意知，直线l：y＝x－1过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，所以eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.
10．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|0)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为eq \f(2,3)，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(2\r(2),3)
答案 B
解析 设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，MN中点坐标为(x0，y0)，
∵MN⊥l，
∴kMN＝－eq \f(1,kl)＝－eq \f(3,2)，由线段MN中点的纵坐标y0＝eq \f(2,3)，可得 2x0－3×eq \f(2,3)－1＝0，
∴x0＝eq \f(3,2).
由中点弦斜率公式得
kMN＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(x0,y0)＝－eq \f(9,4)×eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,2)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，
∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(3),3).
12．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 由|AB|＝eq \f(2p,sin260°)，点O到直线AB的距离为d＝eq \f(p,2)sin 60°，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(1,2)·eq \f(2p,sin260°)·eq \f(p,2)sin 60°＝eq \f(p2,2sin 60°)，
∵p＝2，sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AOB＝eq \f(22,2×\f(\r(3),2))＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
13．(2022·泰安模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4,0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则eq \f(|NF|,9)－eq \f(4,|MF|)的最小值为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵F(4,0)，∴p＝8.∴抛物线方程为y2＝16x，
∴eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,|MF|)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,|NF|)，且|NF|≥eq \f(p,2)＝4，
∴eq \f(|NF|,9)－eq \f(4,|MF|)＝eq \f(|NF|,9)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,|NF|)))＝eq \f(|NF|,9)＋eq \f(4,|NF|)－1≥2eq \r(\f(4,9))－1＝eq \f(1,3)，
当且仅当eq \f(|NF|,9)＝eq \f(4,|NF|)，即|NF|＝6时，取等号．
14．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AF|＝________，|BF|＝________.
答案 3 eq \f(3,2)
解析 方法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，作AD垂直于准线于D，BC垂直于准线于C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，
因为y2＝4x，
所以p＝2，
所以|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝eq \f(2,1－\f(1,3))＝3，
|BF|＝eq \f(|AF|,2)＝eq \f(3,2).
方法二 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3.