【最新版】高中数学高三培优小题练第72练　直线与椭圆的位置关系

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第72练　直线与椭圆的位置关系，共7页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

考点一 直线与椭圆的公共点问题
1．已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，9)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，9))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，＋∞))
答案 C
解析 直线2kx－y＋1＝0恒过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，
直线2kx－y＋1＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))在椭圆内或椭圆上，
∴eq \f(0,9)＋eq \f(1,m)≤1，即m≥1，又m≠9，
∴1≤m<9或m>9.
2．(2022·合肥模拟)曲线y＝eq \r(1－\f(x2,4))与直线y＝2x＋m有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是________________．
答案 －4≤m<4或m＝eq \r(17)
解析 曲线y＝eq \r(1－\f(x2,4))即为曲线eq \f(x2,4)＋y2＝1(y≥0)，它表示如图所示的半椭圆．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得17x2＋16mx＋4m2－4＝0，
若直线与椭圆相切，则Δ＝16(17－m2)＝0，得m＝eq \r(17)或m＝－eq \r(17)(舍)，
若直线过(2,0)，则m＝－4；
若直线过(－2,0)，则m＝4，
结合图象可知，m＝eq \r(17)或－4≤m<4.
考点二 弦长问题
3．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 D
解析 由题意得椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－x＋1，))化简得3x2－4x＝0，
得x＝0或x＝eq \f(4,3)，代入直线方程得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(1,3)，))
不妨令A(0,1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－1))2)＝eq \f(4\r(2),3).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且eq \f(|CD|,|AB|)＝eq \f(8\r(3),7)，则直线l的方程为______________．
答案 y＝－x±eq \f(\r(3),3)
解析 设直线l的方程为y＝－x＋m，
由题意知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(|－m|,\r(2))<1，
得|m|联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝－x＋m，))消去y，
得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(8m,7)，x1x2＝eq \f(4m2－12,7)，
|CD|＝eq \r(2)|x1－x2|
＝eq \r(2)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8m,7)))2－4×\f(4m2－12,7))
＝eq \r(2)×eq \r(\f(336－48m2,49))＝eq \f(4\r(6),7)×eq \r(7－m2)
＝eq \f(8\r(3),7)|AB|＝eq \f(8\r(3),7)×eq \r(2)×eq \r(2－m2)，
解得m2＝eq \f(1,3)<7，得m＝±eq \f(\r(3),3).
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±eq \f(\r(3),3).
考点三 中点弦问题
5．(2022·安徽芜湖一中模拟)已知AB是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的一条弦，且弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是( )
A.eq \f(4,9) B．－eq \f(4,9) C.eq \f(2,9) D．－eq \f(2,9)
答案 D
解析 依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线l：x＋2y－3＝0垂直，
则设直线AB：y＝2x＋m(m≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，,4x2＋9y2＝36，))
消去y得40x2＋36mx＋9m2－36＝0，
Δ＝362m2－36×40(m2－4)＝－144(m2－40)>0，
即－2eq \r(10)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(9m,10)，
于是得弦AB的中点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9m,20)，\f(m,10)))，
所以直线OP的斜率是k＝eq \f(\f(m,10),－\f(9m,20))＝－eq \f(2,9).
6．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(4,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,24)＝1
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
①－②可得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＝eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),b2)，
即eq \f(y2－y1,x2－x1)·eq \f(y2＋y1,x2＋x1)＝－eq \f(b2,a2)，
又y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
故kAB·eq \f(－2,2)＝－eq \f(b2,a2)，kAB＝eq \f(0－－1,4－1)＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，
又c＝4，a2＝b2＋c2，
解得b2＝8，a2＝24，故E的方程为eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,8)＝1.
7．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))
解析 将直线y＝x＋1代入椭圆x2＋2y2＝4中，
得x2＋2(x＋1)2＝4，∴3x2＋4x－2＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝－eq \f(2,3)，
代入直线方程y＝x＋1中，得y＝eq \f(1,3)，
∴弦的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))).
考点四 直线与圆锥曲线的综合问题
8．点M为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，则M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为( )
A．3eq \r(5) B．2eq \r(5) C.eq \r(5) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 设与直线x＋2y－10＝0平行的直线方程为x＋2y＋m＝0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋m＝0，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))得25x2＋18mx＋9m2－144＝0，由(18m)2－100(9m2－144)＝0，得m＝±5，当m＝－5时，直线方程为x＋2y－5＝0，此时直线x＋2y－10＝0与直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq \f(|－10＋5|,\r(5))＝eq \r(5)，即所求距离的最小值为eq \r(5).
9．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,4) D.eq \f(10,3)
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交点坐标为(0，－2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝eq \f(4,3)，∴S△OAB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))＝eq \f(5,3).
10．(2022·石家庄质检)倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 B
解析 由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－c，))所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)，))又eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,－2y\\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)，))所以eq \f(1,2)＝eq \f(4c2,a2＋b2)，即9c2＝2a2，所以e＝eq \f(\r(2),3).
11．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
答案 C
解析 因为直线与圆没有交点，所以eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2<4，所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)12．(2022·南昌模拟)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，l：x＝－eq \f(a2,c)，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 D
解析 若P(x0，y0)，又四边形PQF1F2为平行四边形，|PQ|＝|F1F2|，
∴eq \f(a2,c)＋x0＝2c，即x0＝2c－eq \f(a2,c)＝eq \f(2c2－a2,c)∈(－a，a)，
∴－e<2e2－113．若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有两个不同的交点A，B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2(O为坐标原点)，则k＝__________.
答案 ±eq \f(\r(3),3)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋\r(2)，))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋k2))x2＋2eq \r(2)kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1>0，得k2>eq \f(1,4).
x1＋x2＝－eq \f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4,1＋4k2)，
则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))·(kx2＋eq \r(2))
＝(1＋k2)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq \f(6－4k2,1＋4k2)＝2.
得k2＝eq \f(1,3)>eq \f(1,4)，所以k的值为±eq \f(\r(3),3).
14．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，则直线AB的方程为________________．
答案 x－y－1＝0或x＋y－1＝0
解析 当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
所以|AB|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|
＝eq \r(k2＋1)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2).
同理，|CD|＝eq \f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq \f(12k2＋1,3k2＋4)，
所以|AB|＋|CD|＝eq \f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq \f(48,7)，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.