2021-2022学年山东省淄博市博山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

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2021-2022学年山东省淄博市博山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列等式何者不成立(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

4. 如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，若：：，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 一元二次方程，配方后变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点，都在格点上，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列一元二次方程中，无实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 下列选项中能使▱成为菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是(    )

A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
 

10. 下列命题是真命题的是(    )

A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 两角分别相等的两个三角形相似

11. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
    两组对边分别相等
    一组对边平行且相等
    一组邻边相等
    一个角是直角
    顺次添加的条件：
    则正确的是(    )

A. 仅 B. 仅 C.  D.

12. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是(    )

A.  B. 垂直平分线段
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

13. 若、、均不为，则 ______ ．
14. 将化为最简二次根式，其结果是______．
15. 关于的方程的两根分别为、，则的值为______ ．
16. 函数中自变量的取值范围是______．
17. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为______．
18. 菱形中，对角线，则菱形的高等于______ ．
19. 若一元二次方程为常数的两根，满足，，则符合条件的一个方程为______ ．
20. 如图，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，为折痕，已知，当折痕最长时，线段的长为______．

21. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为______．
22. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

23. 解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

24. 计算：．
25. 如图，在和中，，．
    求证：∽；
    若：：，，求的长．

26. 尺规作图只保留作图痕迹，不要求写出作法如图，已知，且．
    在边上求作点，使；
    在边上求作点，使∽，且与为对应点．

27. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价元，原计划以每桶元的价格销售．为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量桶与每桶降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
    求与之间的函数关系式；
    在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利元．这种消毒液每桶实际售价多少元？

28. 如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求的长．

29. 如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．
    求证：；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项不符合题意；
B、原式，所以选项不符合题意；
C、原式，所以选项符合题意；
D、原式，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得．
故选：．
根据关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C.与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D.，，化成最简二次根式后被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：两个或两个以上的二次根式，化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
：：．
：：，，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出：：，再求出答案即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理可以得到的长，然后由图可知，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，即该方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；
在中，，即该方程有两个不相等的实数根，故选项B不符合题意；
在中，，即该方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
在中，，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：．
计算出各个选项中的的值，然后根据有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根判断即可．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
▱为菱形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
▱为矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
▱为矩形，故选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
、、分别是各边中点，
，，
设和间的距离为，
，，
，
故本选项不符合题意；
B.、、分别是各边中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C.、、分别是各边中点，
，，
若，则，无法判断与是否相等，
无法判断四边形是菱形，
故本选项符合题意；
D.四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定，矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：．
利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理及相似三角形的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加即一个角是直角的菱形是正方形，故正确；
由得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加即一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故不正确；
故选：．
由条件可得到四边形是平行四边形，添加得到平行四边形是菱形，再添加得到菱形是正方形，正确；
由条件得到四边形是平行四边形，添加平行四边形是矩形，再添加矩形是正方形，正确；
由和都可得到四边形是平行四边形，再添加得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，不正确．
本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，为的垂直平分线，
，且，，
，
，
是等腰三角形，
，，
点为的中点，
垂直平分线段，
故选项A，B正确，不符合题意；
在和中，
，，
∽，
，
，，
，
，
，故选项C错误，符合题意；
在中，，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，，
∽，
，
，故选项D正确，不符合题意．
故选：．
由题意不难得到，且，，则有，进而，可判断是等腰三角形，则不难判断、B正确；易证∽，则有，再根据，，从而得到，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得是等边三角形，则有，可得∽，根据相似三角形的性质可得到D正确．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
则，，，
所以，．
故答案为：．
设比值为，然后用表示出、、，再代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更简便．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的化简方法以及最简二次根式的定义进行解答即可．
本题考查二次根式的化简以及最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义，掌握二次根式的化简方法是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两根分别为、，
，，
，
故答案为．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．  

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
一元二次方程化为一般形式后不含一次项，
且，
解得：，
故答案为：．
先根据等式的性质把方程转化成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是：、、为常数，．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得，菱形的面积，

则，，
则，
设菱形的高为，
则菱形的面积，
解得，
故答案为．
由题意得，菱形的面积，设菱形的高为，则菱形的面积，即可求解。
本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键。
 

19.【答案】答案不唯一 

【解析】解：若一元二次方程为常数的两根，满足，，
满足条件分方程可以为：答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题知，当点与点重合时最长，
设，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，
故答案为：．
由题知，当点与点重合时最长，设，则，，根据勾股定理计算出的值即可．
本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当点与点重合时最长时解题的关键．
 

21.【答案】或 

【解析】解：当时，即，
此时矩形的周长为；
当时，即，
解得，
此时矩形的周长为，
综上所述，该矩形的周长为或．
故答案为：或．
根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，则可计算出；当时，即，可计算出，然后计算对应矩形的周长即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接，过点作于，于，

设，
，，
点为中点，点为中点，，
，，，
，
，
，，
，，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
取中点，连接，过点作于，于，设，由三角形中位线定理可得，，，通过证明四边形是正方形，可得，，通过证明∽，可得，可求的长，在中，利用勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
或． 

【解析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是找准公因式．
 

24.【答案】解：原式

． 

【解析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则计算，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

25.【答案】证明：．
，
，
又，
∽；
∽；
，
又，
． 

【解析】由两角相等的两个三角形相似可判断∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与判定，证明∽是本题的关键．
 

26.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于；
作交于点，加上为公共角，则可判断∽．
本题考查了作图相似变换：利用相似的基本图形“”型和“”型进行简单的相似变换作图．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

27.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
；
根据题意得：
，
解得，舍去，
，
答：这种消毒液每桶实际售价元． 

【解析】用待定系数法可列出函数关系式；
由获利元列方程即可解得答案．
本题考查一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式和一元二次方程．
 

28.【答案】解：证明：如图，
在中，点是的中点，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，即垂直平分，
，
平行四边形是菱形．
如图，过点作于点，

由知四边形是菱形，又，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】由题意可得≌，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
过点作于点，根据题意可得，，则，．
本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
 

29.【答案】证明：设与的交点为，

，为边上的两个三等分点，
，，
点关于的对称点为，
，
；
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
如图，过点作，连接，

≌，
，，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
点关于的对称点为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得结论；
由“”可证≌，可得，，由面积法可求，由平行线分线段成比例，可求，可求，由轴对称的性质和等腰三角形的性质可求，通过证明∽，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键．