2021-2022学年山东省淄博市张店区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

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2021-2022学年山东省淄博市张店区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，属于二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将木条，与钉在一起，，若要使木条与平行，则的度数应为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 若，则下列不等式变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列事件是必然事件的是(    )

A. 抛一枚硬币，第一次抛正面朝上，第二次抛一定也是正面朝上
B. 打开电视机，正在播电视剧
C. 袋中有个黑球和个白球，摸一次一定摸到红球
D. 任意画一个三角形，其内角和一定是

5. 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是(    )

A. 要消去，可以将 B. 要消去，可以将
C. 要消去，可以将 D. 要消去，可以将

6. 如图，已知≌，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

7. 在一个不透明的口袋中，放置个黄球，个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率如图所示，则的值最可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若数使关于的不等式的最小正整数解是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，交于点，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：

则：时看到里程碑上的数是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知中，，，是上的中点，点，分别在，上，且，若，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

13. 把命题“同角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式____．
14. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传年北京冬奥会，中国邮政发行了一套冬奥会邮票，其中有一组展现雪上运动的邮票，如图所示：
    某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对一题的同学可以从枚邮票中任意抽取枚作为奖品．小明在抢答环节中，答对一题，则小明恰好抽到“高山滑雪”的概率是______．
15. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为______．

16. 如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度．

17. 已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，，则下列五个结论：
    ；
    ；
    ；
    是等边三角形；
    平分．
    其中，正确的是______只填写序号

三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 解二元一次方程组
19. 解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．
20. 已知：如图，是任意一个三角形，求证：．

21. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了、两种型号家用净水器共台，型号家用净水器进价是元台，型号家用净水器进价是元台，购进两种型号的家用净水器共用去元．
    求、两种型号家用净水器各购进了多少台；
    为使每台型号家用净水器的毛利润是型号的倍，且保证售完这台家用净水器的毛利润不低于元，求每台型号家用净水器的售价至少是多少元．注：毛利润售价进价
22. 已知中，，．
    如图，为上任一点，连接，过点作的垂线交过点与平行的直线于点求证：．
    
    若点在的延长线上，如图，其他条件同，请画出此时的图形，并猜想与是否仍然相等？说明你的理由．

23. 【活动回顾】：
    七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
    发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
    结论：一元一次不等式：或的解集，是函数图象在轴上方或轴下方部分的点的横坐标的集合．
    【解决问题】：
    如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
    如图，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
    【拓展延伸】：
    如图，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
    求点，的坐标；
    结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．
    若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
     

24. 数学课上，王老师出示了如下框中的题目．
    在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图试确定线段与的大小关系，并说明理由．
    小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
    特殊情况，归纳猜想：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： ______填“”，“”或“”．
    特例启发，演绎证明：如图，当点为边上任意一点时，线段与的大小关系是： ______填“”，“”或“”，小敏和小聪过点作，交于点，请帮助小敏和小聪完成接下来的证明过程．
    拓展延伸，问题解决：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若等边三角形的边长为，，求的长．请自己画图，并完成解答；
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是三元一次方程，不符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意．
故选：．
利用二元一次方程的定义判断即可．
此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：时，，
若要使木条与平行，．
故选：．
根据同位角相等，两直线平行，求出的度数．
本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.，
，故本选项符合题意；
故选：．
不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项是随机事件，故该选项不符合题意；
选项是随机事件，故该选项不符合题意；
选项是不可能事件，故该选项不符合题意；
选项，三角形内角和是，故该选项符合题意；
故选：．
根据随机事件判断，选项；根据不可能事件判断选项；根据三角形内角和是判断选项．
本题考查随机事件，三角形内角和定理，掌握三角形内角和是是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：利用加减消元法解方程组，
要消去，可以将；要消去，可以将．
故选：．
观察方程组中与的系数规律，利用加减消元法判断即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在附近，
因此摸到蓝球的概率为，
所以有，
解得，
经检验，是原方程的解，
因此蓝球有个，
故选：．
利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由尺规作图可知是线段的垂直平分线，则．
的周长为：．
故选：．
由尺规作图知是线段的垂直平分线，则，根据周长为可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段的垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
不等式的最小正整数解是，
，
解得，
故选：．
解不等式得出，由不等式的最小正整数解是知，解之可得答案．
本题考查的是一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得到关于的不等式组．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由等腰三角形的性质得出，由垂直的定义得出；易证得，即中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得；由此可求得的长．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出和的长度是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设小明：时看到的两位数十位数字为，个位数字为，即两位数为为；
则：时看到的两位数为，：：时行驶的里程数为：，
：时看到的数为，：时：时行驶的里程数为：；
依题意，得：，
解得：，
：时小明看到的两位数是．
故选：．
设小明：时看到的两位数十位数字为，个位数字为，根据小明连续三次看到的结果，列出二元一次方程组，解之得出，的值，再代入中即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，，
，，
是上的中点，
，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
当时，最小，则最小，
此时，
的最小值为，
故选：．
连接，先证出≌，得出，，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，此时，即可求解．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是准确作出辅助线，证出≌．
 

13.【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 

【解析】

【分析】
本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果那么”的形式的关键．
“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
【解答】
解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果那么”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．  

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，共有四种等可能的情况，
．
故答案为：．
直接运用概率的公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线经过点，
，
解得，
，
关于，的方程组的解为：，
故答案为：．
首先利用得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，
，
，
是的角平分线，
，
，
≌，
，
，
故答案为：．
过点作于点，由是的角平分线可得，可证出≌，可得，即可求解．
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证出≌．
 

17.【答案】 

【解析】证明：是等边三角形，
当是的中点或者平分时，；故错误；
和都是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
；故正确；
，
而，
，
，
；故正确；
≌，
，
而，
为等边三角形；故正确；
作于，于，如图，
≌，
，
平分故正确．
综上所述：正确的是．
故答案为：．
当是的中点或者平分时，；故错误；根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断≌，得到，然后根据“”判断≌，所以；可以判断正确；根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，由≌；故正确；得到，加上，则根据等边三角形的判定即可得到为等边三角形；可以判断正确；作于，于，如图，由≌得到，于是根据角平分线的判定定理即可得到平分，进而可以判断正确．
本题属于中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

18.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

则不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：过点作，

，
，，
，
． 

【解析】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
过点作，利用，可得，，而，利用等量代换可证．
 

21.【答案】解：设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，
由题意得，
解得．
答：种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台．
设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，
由题意得，
解得，
元．
答：每台型号家用净水器的售价至少是元． 

【解析】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，根据“购进了、两种型号家用净水器共台，购进两种型号的家用净水器共用去元．”列出方程组解答即可；
设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，根据保证售完这台家用净水器的毛利润不低于元，列出不等式解答即可．
 

22.【答案】证明：，
，，
，
，
，，
，，

在和中，

≌
．

与仍然相等，
证明：过点作，过点作于点，
，
，，
，
，
，，
，，

在和中，

≌
． 

【解析】先证，再证≌即可得出答案．
根据题意画出图形，然后可根据≌得出结论．
本题考查等腰三角形的性质，难度不大，注意利用全等三角形的知识证明线段的相等．
 

23.【答案】         

【解析】解：，
随值的增大而减小，
当时，，
当时，，
不等式的解集是，
故答案为：；
通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
的解为两直线交点的横坐标，
方程的解为，
由图象可得，当时，，
不等式的解是，
故答案为：，，；
联立方程组，
解得，
，
当时，，
，
；
由的图象可知，当时，，
当时，，
方程组的解集为，
故答案为：；
存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
，
，
，，，
当时，，
解得舍或，
；
当时，，
或，
或；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或或．
结合图象即可求解；
通过观察图象求解即可；
根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
通过观察图象求解即可；
分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：是等边三角形，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
与的大小关系是：，理由如下：
如图，过点作，交于点．
则，，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；

如图，当在的延长线上时，作交的延长线于，
同得：≌，
，
，
如图中，当在的延长线上时，作交的延长线于，
同得：≌，
，
．
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
先由等边三角形的性质得到，，再证出，即可得出结论；
作交于证明≌，推出，即可得出；
分两种情形讨论：当在的延长线上时，作交的延长线于，易证≌，可得，；
当在的延长线上时，作交的延长线于，易证≌，可得，由此即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．